首先考虑当节点数为n时,有多少个二叉树
设\(f[i]\)表示节点为i时二叉树的个数,有
\[f[n]=\sum_{i=1}^{n-1}f[i]f[n-1-i] \]注意这种递推式子也是卡特兰数的一种形式,所以为卡特兰数
其实手写出前四项为1,2,5,14我们就要有足够的敏感度知道这是卡特兰数
然后考虑叶子个数
我们假设我们已经画出了n个节点时所有的二叉树,那么不难发现,每一个二叉树可以再生成(n+1)张图
然后我们让所有的二叉树都生成(n+1)张图,我们只要把这些图中重复的去掉就好了
假设生成的一张图的叶子有d个,那么这张图肯定被重复生成了d次(每次都是在n个节点的所有二叉树的某一颗上添加一个叶子形成的),那么这张图的总贡献为\(d^{2}\),但他本来应该只贡献\(d\),所以我们要去重
我们只要让每一张生成的图的原始贡献从d变为1即可,这样直接累加就是d个1相加而不是d个d相加了,刚好与他应该的贡献相同
所以(n+1)个节点的叶子数之和就是(n+1)*\(cat_{n}\),其中\(cat_{n}\)为卡特兰数,代表n个节点的二叉树数目,n+1就是这些二叉树中的每一所能生成的图的数量(每个图的贡献都为1了)
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