首页 > 其他分享 >洛谷P3978 概率论

洛谷P3978 概率论

时间:2023-10-01 18:33:23浏览次数:43  
标签:贡献 洛谷 P3978 卡特兰 二叉树 概率论 生成 张图 节点

首先考虑当节点数为n时,有多少个二叉树

设\(f[i]\)表示节点为i时二叉树的个数,有

\[f[n]=\sum_{i=1}^{n-1}f[i]f[n-1-i] \]

注意这种递推式子也是卡特兰数的一种形式,所以为卡特兰数

其实手写出前四项为1,2,5,14我们就要有足够的敏感度知道这是卡特兰数

然后考虑叶子个数

我们假设我们已经画出了n个节点时所有的二叉树,那么不难发现,每一个二叉树可以再生成(n+1)张图

然后我们让所有的二叉树都生成(n+1)张图,我们只要把这些图中重复的去掉就好了

假设生成的一张图的叶子有d个,那么这张图肯定被重复生成了d次(每次都是在n个节点的所有二叉树的某一颗上添加一个叶子形成的),那么这张图的总贡献为\(d^{2}\),但他本来应该只贡献\(d\),所以我们要去重

我们只要让每一张生成的图的原始贡献从d变为1即可,这样直接累加就是d个1相加而不是d个d相加了,刚好与他应该的贡献相同

所以(n+1)个节点的叶子数之和就是(n+1)*\(cat_{n}\),其中\(cat_{n}\)为卡特兰数,代表n个节点的二叉树数目,n+1就是这些二叉树中的每一所能生成的图的数量(每个图的贡献都为1了)

标签:贡献,洛谷,P3978,卡特兰,二叉树,概率论,生成,张图,节点
From: https://www.cnblogs.com/dingxingdi/p/17739108.html

相关文章

  • 【洛谷 P1305】新二叉树 题解(结构体数组+先序遍历+二叉树)
    新二叉树题目描述输入一串二叉树,输出其前序遍历。输入格式第一行为二叉树的节点数。()后面行,每一个字母为节点,后两个字母分别为其左右儿子。特别地,数据保证第一行读入的节点必为根节点。空节点用*表示输出格式二叉树的前序遍历。样例#1样例输入#16abcbdicj*d**i**j**......
  • 洛谷题解 | AT_abc321_c Primes on Interval
    目录题目翻译题目描述输入格式输出格式样例#1样例输入#1样例输出#1样例#2样例输入#2样例输出#2样例#3样例输入#3样例输出#3题目简化题目思路AC代码题目翻译【题目描述】你决定用素数定理来做一个调查.众所周知,素数又被称为质数,其含义就是除了数字一和本身之外不能......
  • 解题报告 洛谷P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑
    P2155[SDOI2008]沙拉公主的困惑题目题面非常的简洁,求\(\sum\limits_{i=1}^{n!}[i\perpm!]\)直接颓式子,\[\begin{aligned}ans&=\dfrac{n!}{m!}\cdot\varphi(m!)\\\\&=\dfrac{n!}{m!}*m!\prod\limits_{p\midm!}[\dfrac{p-1}{p}]\\&=n!\cdot\dfrac{\......
  • 洛谷 P7075[CSP-S2020] 儒略日
    [CSP-S2020]儒略日题目描述为了简便计算,天文学家们使用儒略日(Julianday)来表达时间。所谓儒略日,其定义为从公元前4713年1月1日正午12点到此后某一时刻间所经过的天数,不满一天者用小数表达。若利用这一天文学历法,则每一个时刻都将被均匀的映射到数轴上,从而得以很方便的......
  • 洛谷 P7075 [CSP-S2020] 儒略日
    P7075[CSP-S2020]儒略日1.题目描述为了简便计算,天文学家们使用儒略日(Julianday)来表达时间。所谓儒略日,其定义为从公元前4713年1月1日正午12点到此后某一时刻间所经过的天数,不满一天者用小数表达。若利用这一天文学历法,则每一个时刻都将被均匀的映射到数轴上,从而得以......
  • 洛谷5249
    先给出一个我自己的不那么套路的做法设p[i][j]表示一共有i个人,第j个人最终幸存的概率那么有\(p[i][j]=\)\[p_{0}*p[i-1][j-1]+(1-p_{0})*p_{0}*p[i-1][j-2]+...+(1-p_{0})^{j-2}*p_{0}*p[i-1][1](即前面j-1个人是否死进行讨论)\]\[+\]\[\]......
  • 洛谷3750 分手是祝愿
    这种可能会有无穷的情况,就是对某一个开关一直按像这种题目我把他叫做无穷型嵌套期望这种题目一般都是用DP推出公式然后化简看着题首先,我们考虑假设最开始最少的操作少于k,应该怎么做很容易发现一个性质,就是按动一个开关,只能影响前面的开关,不能影响后面的开关这是什么?无后效性......
  • Solution of 洛谷-P1896
    并不会有更好的阅读体验\(\text{Sol}\)我们先看一眼数据范围:\(1\leN\le9\)没关系,DFS会出手。好吧,正经的说,如果暴搜的话复杂度会涨到\(\textO(2^{n^2})\),\(\textT\)到飞起。此时我们发现有个东西叫状压\(\text{DP}\),也是解决小范围数据的问题。老套路,枚举每一行,......
  • [洛谷]-5825排列计数-欧拉数、NTT
    目录边界对称性递推形式容斥https://www.luogu.com.cn/problem/P5825题意:我们记一个排列P的升高为\(k\)当且仅当存在\(k\)个位置\(i\)使得\(P_i<P_{i+1}\)。给定排列长度\(n\),对于所有整数\(k\in[0,n]\),求有多少个排列的升高为\(k\),\(1\leqn\leq2\times10^5\)......
  • 对期望线性性的理解以及例题:洛谷P3239
    \(E(X+Y)\)中\(X+Y\)到底什么意思?我们不妨设\(X\)对应事件1,他有一个样本空间\(\Omega_{1}\),这个样本空间中的每一个事件对应一个取值同理我们对\(Y\)也搞一个\(\Omega_{2}\)。那么\(X+Y\)指的就是\(X\)和\(Y\)的笛卡尔积两个集合的笛卡尔积指的是从这两个集合分别各取一个元素......