第一章
定义超几何函数
\[F(a_1,a_2\dots a_n;b_1,b_2\dots b_m;z)=\sum_{k\ge 0}\frac{a_1^{\overline{k}}\dots a_n^{\overline {k}}z^k}{b_1^{\overline k}\dots b_n^{\overline k}k!} \]其中 \(b_i\) 不为非正的整数。
举出若干简单例子:
两种特殊的超几何函数(没什么用):
合流超几何函数:
高斯超几何函数:
\[F(a,b;c;z)=\sum_{k\ge 0}\frac{a^{\overline{k}}b^{\overline {k}}z^k}{c^{\overline k}k!} \]一般的形式多少有点吓人。现在我们考察如何把一个东西变成超几何形式:
考虑
同时 \(t_0=1\)。不为一的话在展开式外面乘上应该的 \(t_0\) 即可。
来试试手:
使 \(k\) 最小值为 \(0\),令 \(k=n-k\)。
\[t_k=\frac{(r+n-k)!}{r!(n-k)!},\frac{t_{k+1}}{t_k}=\frac{n-k}{r+n-k}=\frac{(k+1)(k-n)(1)}{(k-r-n)(k+1)} \]\[=F(1,-n;-n-r;1) \]\[\therefore F(1,-n;-n-r;1)=\frac{r+n+1}{r+1} \]在上述过程中,注意到我们没有定义超几何函数在分母阶乘为负数的情况。
但是我们OIer管这么多干什么呢
对于阶乘函数,有两种本质等价的定义方法:
事实上,对于第二种,可以利用 \(z!=z(z-1)!\) 延拓其定义域。
有余元公式:
不难发现,\(z!\) 为 \(0\) 当且仅当 \(z\) 为负整数。
根据范德蒙德卷积,有:
改写为超几何形式有:
\[\binom{s}{n}F(-r,-n;s-n+1;1)=\binom{r+s}{n} \]这时,我们发现可以改写 \(r,s,n\)。
于是可以得到高斯超几何函数的通用形式:
这里 \(b\) 为非正的整数,或者 \(c>a+b\)(事实上是他们的实部),否则原级数不收敛。
而假设 \(b=-n\),有一个看起来更好的形式:
事实上,这个东西能秒掉很多组合数题。
这里还有一个库莫尔公式:
如果愿意记得话,有一个可以由之前某道组合例题推广的Saalschütz公式:
\[F(a,b,-n;c,a+b-n-c+1;1)=\frac{(c-a)^{\overline n}(c-b)^{\overline n}}{(-c)^{\overline n}(c-a-b)^{\overline n}} \] 标签:dots,frac,入门,OI,sum,overline,几何,binom From: https://www.cnblogs.com/british-union/p/super-geo.html