可撤销并查集

按时间顺序用一个栈维护合并信息，撤销时从栈顶弹出合并信息，恢复原状态。

并查集查找祖先时 不能路径压缩，只能按秩合并。

例题：

[ABC302Ex] Ball Collector

容易想到将 \(A_i\) 和 \(B_i\) 之间连边。

遍历整棵树，用可撤销并查集维护图。

为了进一步求得答案，需要注意到该结论：对于一个连通块，对当前答案的贡献为 \(\min(\text{点数}, \text{边数})\)。（[ARC111B] Reversible Cards）

证明可以考虑从树的特殊情况出发，添加一条返祖边，分析贡献的变化。

于是简单地维护这两个量和答案即可。

Warning：在实现上的注意：

之前写可撤销并查集时只用栈维护了合并两个连通块时的操作（由于不是路径压缩，因此父亲在一段时间内是固定的，你甚至可以只记录大小较小的连通块的祖先编号），并没有把每一步操作都记录下来，这是因为我们需要的信息只与连通块内的点有关，因此不需要知道连通块内连接的具体形态。但在这道题里，我们需要查询边的信息，因此需要把每一步操作都存进栈里。

线段树分治

xht 的题解对该算法的叙述精辟而清晰：

考虑这样一个问题：

• 有一些操作，每个操作只在 \(l \sim r\) 的时间段内有效。
• 有一些询问，每个询问某一个时间点所有操作的贡献。

对于这样的询问，我们可以离线后在时间轴上建一棵线段树，这样对于每个操作，相当于在线段树上进行区间操作。

遍历整颗线段树，到达每个节点时执行相应的操作，然后继续向下递归，到达叶子节点时统计贡献，回溯时撤销操作即可。

这样的思想被称为线段树分治，可以在低时间复杂度内解决一类在线算法并不优秀的问题。

例题：（没放板题）

线段树分治与可撤销并查集

P5631 最小mex生成树

枚举答案 \(x\)，将所有权值为 \(x\) 的边删除，若剩下的边能够形成生成树（即图联通），说明原图上至少存在一棵生成树的 \(mex\) 值 \(\le x\)，即答案 \(\le x\)。则最小使图连通的 \(x\) 即为答案。

将边权视作时间进行分治。将边权为 \(x\) 的出现时段分成 \([0, x - 1]\) 和 \([x + 1, \infin]\)，最小使图连通的时间点即为答案。

空间复杂度 \(O(m\log{w})\)，时间复杂度 \(O(m\log{n}\log{w})\)。（？

CF1681F Unique Occurrences

有了上面那道题的经验，这里仍然考虑 将边权视作时间进行分治。

对于颜色 \(c\)，将所有权值为 \(c\) 的边删除后形成若干连通块，原树上权值为 \(c\) 的边 \(x\) 所连的两个连通块的乘积即为通过 \(x\) 做出的贡献。

CF1140F Extending Set of Points

难得独立做出来 *2600。按时间分治，关键是如何维护答案。

经典套路，将二维平面上的点 \((x, y)\) 视作 \(x\) 与 \(y + N\) 之间连无向边，则答案为所有连通块内横坐标点数与纵坐标点数的乘积之和。

由于递归到叶子节点时统计答案的时间复杂度过高，可以 在并查集的合并与撤销时维护答案。

[ABC163F] path pass i

将点权视作时间进行分治，用线段树分治维护连通块信息。

如果按原题意操作，发现线段树递归到叶子节点时不方便统计答案，因此可以容斥一下，去求不包含颜色 \(c\) 的路径数 \(cnt\)。

去掉所有端点权值为 \(c\) 的边，每个大小为 \(x\) 的连通块内对 \(cnt\) 贡献 \(\binom{x}{2} + x\)（注意此题中单点也算一条路径），但是切掉边后形成的颜色为 \(c\) 的单点不会做贡献，因此算的时候要把这部分去掉。

仍然是在并查集合并和撤销的过程中维护答案。

时间复杂度 \(O(n\log^{2}{n})\)，但此题有线性做法。