博弈论——连续产量古诺模型

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连续产量古诺模型

连续产量古诺模型是博弈论中非常经典的模型，以两厂商连续产量古诺博弈为例：

1、模型建立

Player：两个供应相同产品的厂商

产量：厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，市场总供给为Q=q1+q2。

市场出清价格P：市场总供给的函数P(Q)=8-Q (市场出清价格是可以将产品全部卖出的价格)

成本：设两个厂商都无固定成本，每增加一单位产量的边际成本c1=c2=c。

最后强调两个厂商同时决策,即决策之前都不知道另一方产量(完全信息静态博弈)。

该博弈两博弈方的策略空间是他们可以选择的产量。假设产量是连续变量，也就是说两厂商有无限多种可选策略。两博弈方的得益是两个厂商各自的利润，即各自的销售收益减去各自的成本：
$博弈论——连续产量古诺模型_供应链$
和
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_02$
其中， $博弈论——连续产量古诺模型_管理_03$ 、 $博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_04$ 分别是厂商1、厂商2的利润。可以看出，两博弈方的得益都取决于双方的产量。这个博弈中，我们需要找到纳什均衡，即只要策略组合 $博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_05$ 满足 $博弈论——连续产量古诺模型_管理_06$ 和 $博弈论——连续产量古诺模型_供应链_07$ 相互是对于对方的最佳对策就构成纳什均衡。

根据纳什均衡的定义知道,纳什均衡就是相互是最优对策的各博弈方策略组合。因此,如果策略组合 $博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_05$ 是本博弈的纳什均衡,就必须是下列最大值问题的解：
$博弈论——连续产量古诺模型_供应链_09$

2、模型求解

上述两个求最大值的式子都是各自变量的二次式,且二次项系数都小于0,因此只要 $博弈论——连续产量古诺模型_管理_06$ 和 $博弈论——连续产量古诺模型_供应链_07$ 能使两式各自对 $博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_12$ 和 $博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_13$ 的导数为0就能实现两式的最大值。

即令
$博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_14$

又因为策略组合 $博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_05$ 是本博弈的纳什均衡，故解下列方程
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_16$

得到方程组唯一解:
$博弈论——连续产量古诺模型_管理_17$

可以进一步得到市场总供给
$博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_18$
市场出清价格为
$博弈论——连续产量古诺模型_供应链_19$
故双方的得益分别为:
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_20$
$博弈论——连续产量古诺模型_管理_21$
总收益为(s为separate)：
$博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_22$
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_23$ 为两个厂商在各自做决策场景下的总收益。

3、模型拓展

如果从两个厂商总体利益最大化角度进行统一的产量选择,就要求实现两个厂商总和利润最大的总产量。设总产量为Q,则总利润为
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_24$
其中 $博弈论——连续产量古诺模型_博弈论_25$ (o为overall)为两个厂商总体决策时的总利润，则同样求一阶导得到当 $博弈论——连续产量古诺模型_管理_26$ 时，取得最大值
$博弈论——连续产量古诺模型_供应链_27$

4、结果比较

将两个厂商进行统一的产量选择时的结果与两个厂商独立决策、追求各自利润最大化时的博弈结果相比:
$博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_28$

不难发现，从两个厂商总体利益最大化角度进行统一的产量选择时，总产量较小,而总利润却较高。

因此从两个厂商的总体来看,根据总体利益最大化决策效率更高，即如果两个厂商联合起来决定产量,先定出使总利益最大的总产量( $博弈论——连续产量古诺模型_管理_29$ )后各自生产其一半( $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ ),则各自可分享到单位利润 $博弈论——连续产量古诺模型_供应链_31$ ,比各自独立决策获得的利润 $博弈论——连续产量古诺模型_供应链_32$ 要高。

当然,在两个独立决策的企业之间实现合作并不容易。合作难以实现的原因主要是合作的产量组合( $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ , $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ )不是纳什均衡。在这个策略组合中，双方都可以独自改变自己的策略得到更高的利润,双方都有突破 $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ 单位产量的冲动。在缺乏有强制性协议保障的情况下,这种冲动注定了不可能维持产量组合( $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ , $博弈论——连续产量古诺模型_管理_30$ )，两个厂商早晚都会增产，只有达到纳什均衡产量( $博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_38$ , $博弈论——连续产量古诺模型_运筹学_38$ )后才会稳定下来,因为这时任意一个厂商单独改变产量都不利于自己。如果将遵守还是突破限额作为厂商面临的选择,则构成如下图所示中得益矩阵表示的博弈。不难看出,下图所示是一个囚徒困境。

博弈论——连续产量古诺模型_管理_40

5、总结

上述博弈是根据谢识予老师的《经济博弈论》中连续产量古诺模型改编得到的比较简单版本。更复杂的模型可以包括n个寡头,市场出清价格与市场总产量的函数关系P=P(Q) 可以更复杂,每个厂商的成本也可以变化或不同。但不管这些因素如何变化,分析思路与上述模型是相似的,不过纳什均衡的产量组合将变成n个偏微分为0的联立方程组解。

产量博弈的古诺模型是一种囚徒困境,无法实现博弈方总体和各个博弈方各自最大利益的结论，该博弈说明自由竞争经济同样存在低效率问题，放任自流并非最好的政策。这些结论也说明了,政府对市场调控和监管的必要性。

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