// created on 23.09.22
目录Determinant of \(A+Bz\)
You are given two \(n\times n\) matrices \(A\) and \(B\) .
For each \(k=0,1,\cdots,n\) , you need to calculate \(f_k=[z^k]\det(A+Bz)\bmod 998244353\) .
\(n\leq 500\) 。
矩阵 \(A\) 的特征多项式为：\(f_A(\lambda)=|\lambda I-A|\) 。使得 \(f_A(\lambda)=0\) 的 \(\lambda\) 称为矩阵 \(A\) 的特征值。
先尝试解决矩阵的特征多项式问题。一个重要的性质是，特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 \(C\) 使得 \(B=P^{-1}AP\) 则 \(f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\) 。
我们通过对高斯消元作出修改达成目的。一般的高斯消元可以看出，给出 \(A\) 求出 \(PA\)，后者是一个上三角矩阵。但此时差了一个 \(P^{-1}\) 。
注意到而高斯消元中，我们要做的只有交换两行，以及将一行乘 \(k\) 加到另一行。它们对应的初等矩阵的逆，在整个式子右侧乘上的结果是很好预测的（都是对列操作）。
于是，我们在 \(P\rightarrow xP\) 时同时执行 \(P^{-1}\rightarrow P^{-1}x^{-1}\)，并且实时维护 \(PAP^{-1}\) 。我们的目标变为消出上海森堡矩阵（即 \(j-i<-1\) 的 \((PAP^{-1})_{i,j}\) 都为 \(0\)，需要和上三角矩阵区分）。显然易见，这总是可以完成的。
接下来的任务就变成求上海森堡矩阵的特征多项式了（记 \(B=PAP^{-1}\)）。
记 \(p_i(\lambda)\) 为保留前 \(i\) 行前 \(i\) 列时，子方阵的特征多项式。\(i\rightarrow i+1\) 时，讨论 \(i+1\) 要么列的选择方式，可以得到：
\[p_i(\lambda)=(x-A_{i,i})p_{i-1}(x)-\sum_{j=1}^{i-1}A_{i-j,i}p_{i-j-1}(\lambda)\prod_{k=i-j+1}^{i}A_{k,k-1} \]于是以 \(O(n^3)\) 的代价我们求出了 \(f_A(\lambda)=|\lambda I-A|\) 。
提交记录：Submission #186123 - QOJ.ac 。
现在的问题是解决 \(|A+Bz|\) 。假设 \(B\) 满秩，高斯消元消成 \(I=MB\)，那么 \(\det(A+Bz)=\det(M^{-1})\det(MA+MBz)\)，问题变为求特征多项式。否则，我们消元的过程中，如果消不下去了，就将这一列的 \(A\) 乘 \(z\) 搬过来（然后最后除掉这个 \(z\)）。如果仍然消不下去，那么 \(|A+Bz|\) 就是 \(0\) 。
提交记录：Submission #186128 - QOJ.ac 。
标签：Determinant,多项式,矩阵,Bz,高斯消,lambda From： https://www.cnblogs.com/qiulyqwq/p/17724333.html