标签：11 approx frac 通过 sqrt 120 近似值 微分 Delta
Definition
计算 \(\Delta y\) 和函数在 \(x=x_{0}\) 处附近一点 \(x=x_{1}\) 函数值的近似值
设函数 \(y=f(x)\) 在点\(x_{0}\)处可微分,且\(f'(x_{0}) \ne 0,\) 由微分之定义, 当 \(\left| \Delta x \right|\) 极小时，有:
\(\Delta y =f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \approx f'(x_{0}) \Delta x\)
可表示为:
Instance
\[应用例: 求 \sqrt[]{120} 之近似值
\]
\[\\ \\
\]
\[\sqrt[]{120}=\sqrt[]{121-1}=(121-1)^{\frac{1}{2}}
=[(11)^{2}-1]^{\frac{1}{2}}
\\
提11而出: \quad \sqrt[]{120}=11(1-\frac{1}{11^{2}})^{\frac{1}{2}}
\]
\[\\ \\
\]
\[设f(x) \approx \sqrt[]{1+x}, \quad x_{0}=0, x_{1}=-\frac{1}{11^{2}}
\]
\[题意即为: \quad 求 f(x) 在 x_{0} 处附近一点 x_{1} 之近似值
\]
\[\\ \\
\]
\[由公式得: \quad f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx f(0)+f'(0)\cdot (-\frac{1}{11^{2}}-0)
\]
\[\\ \\
\]
\[设1+x=k,\quad
f'(x)=(\sqrt[]{1+x})'=(k)'\cdot (\sqrt[]{k})'
\]
\[\\ \\
\]
\[(k)'=(1)'+(x)'=0+1=1
\]
\[\\ \\
\]
\[由公式, (\sqrt[]{k})' =\frac{1}{2\sqrt[]{k}} =\frac{1}{2\sqrt[]{1+x}}
\]
\[\\ \\
\]
\[代入 x_{0}=0, \quad \therefore f'(0)=\frac{1}{2}
\]
\[\\ \\
\]
\[\therefore f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx 1+\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{11^{2}}=\frac{241}{242}
\]
\[\\ \\
\]
\[\because \sqrt[]{120} \approx 11\cdot f(x_{1})
\]
\[\\ \\
\]
\[\therefore \sqrt[]{120} \approx 11\cdot \frac{241}{242}
\]
\[\\ \\
\]
\[\sqrt[]{120} \approx \frac{241}{22}
\]
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微分,
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