集合中的多题一解

标签：一解 题目 complement mid leq 多题 集合 subseteq

前言

集合的学习中，有一类题目很多见，就是“已知集合的关系求参数的取值范围的题目”，有时候集合的关系却是以集合的运算形式给出来的，理解和掌握这类等价关系显得非常关键，往往可以快速转化，从而实现多题一解的效果。

$B\subseteq A$ $\Longleftrightarrow$ $B\cap A=B$ $\Longleftrightarrow$ $B\cup A=A$ $\Longleftrightarrow$ $\complement_UA\subseteq \complement_UB$ $\Longleftrightarrow$ $B\cap(\complement_UA)=\varnothing$

典例剖析

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若 \(B\subseteq A\)，求实数\(m\)的取值范围。

【解析】：由于集合\(A\)为定集，集合\(B\)为动集，又因为 \(B\subseteq A\)，故需要针对集合\(B\)分类讨论如下：

1、当集合\(B=\varnothing\)时用不等式表示的集合，其左端点值超过右端点值，则此不等式表示空集。若左端点值不超过右端点值，则其不是空集。，则有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；

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2、当集合\(B\neq\varnothing\)时，必须满足三个条件，即 \(\left\{\begin{array}{l}{m+1< 2m-1}\\{ -2 \leq m+1}\\{2m-1 \leq7}\end{array}\right.\)，解得\(2<m\leq 4\)；

综上所述：实数\(m\)的取值范围是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(A\cap B=B\)，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由于 \(A\cap B=B\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(A\cup B=A\)，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由于 \(A\cup B=A\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(\complement_UA\subseteq \complement_UB\)，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由于 \(\complement_UA\subseteq \complement_UB\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(B\cap(\complement_UA)=\varnothing\)，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由于 \(B\cap(\complement_UA)=\varnothing\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

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