2023.08.24
- 设 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(\exists k \in (0,1),\forall x, y \in \mathbb{R},\lvert f(x)-f(y)\rvert \le k\lvert x-y \rvert\).
\((1)\). 证明：\(kx-f(x)\) 单调递增;
\((2)\). 证明：存在唯一的 \(x\) 使得 \(f(x) = x\).
$(1)$ 解
不妨令 \(x > y\)，则 \(\forall x,y \in \mathbb{R}\)，有 \(k(x-y) \ge \lvert f(x)-f(y) \rvert \ge f(x)-f(y)\)。
于是 \(\forall x,y \in \mathbb{R},x > y,kx-f(x) \ge ky-f(y)\)。得证。
$(2)$ 解
首先考虑到题目条件限制，\(f(x)\) 一定连续，否则在突变处附近不能满足条件。
然后鉴于 \(kx-f(x)\) 单增，\(x-f(x)\) 也单增，可证零点存在的唯一性。
最后证明零点的存在性。很简单，证明 \(x-f(x)\) 没有上下界即可。由于 \(kx-f(x)\) 在 \(x \to +\infty\) 时不会趋于 \(-\infty\)，于是加上 \((1-k)x\) 后，当 \(x \to \infty\) 时，\(x-f(x)\) 趋于正无限。反之亦然。
- 现有一个实数数列 \(u_1,u_2,\ldots,u_{2023}\)，满足 \(\sum\limits_{i = 1}^{2023} u_i = 0\)，\(\sum\limits_{i = 1}^{2023} u_i^2 = 1\)。其中，再记 \(a = \min\limits_{i = 1}^{2023} u_i,b = \max\limits_{i = 1}^{2023} u_i,P = \left\{i\mid u_i > 0\right\},N = \left\{i \mid u_i \le 0\right\}\)。
\((1)\). 证明：\(ab < 0\)；
\((2)\). 证明：$\lvert 2ab \rvert \ge $