A - Permutation

summarization

构造一个 \(1\dots n\) 的排列使 \(\prod\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(p_i,p_{(i\bmod n)+1})\) 最大。

solution

不难发现上式最大为 \(\prod\limits_{i=1}^ni^2\)，即让所有 \(\operatorname{lcm}(x,y)=x\times y\)，那么只要使相邻两个数互质即可，一种构造方案为 \(1,2,3,\dots,n\)。

C - Alice and Bob

summarization

对于一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，定义一次操作为将 \(p_{1\sim p_1}\) 重新排列。

现在 Alice 和 Bob 在玩游戏，Alice 先手，两人轮流操作一次排列，若有人连续两次操作的 \(p_1\) 相等，则他输。

给定排列的长度 \(n\)，问有多少种排列 Bob 赢。

solution

先给出构造：对于排列中的每一个数 \(i\)，我们先把它放在第一个，再从比 \(i\) 大的 \(n-i\) 个数中取出 \(i-1\) 个放在它后面，最后将剩下的数放在后面，方案数为 \(\sum(i-1)!(n-i)!C_{n-i}^{i-1}\)。

现在给出证明：对于第一个数 \(i\)，\([1,i]\) 中的数肯定大于等于 \(i\)，那么 Alice 重排后的第一个数 \(x\) 肯定 \(\ge i\)。由于重拍后 \(i\) 的位置肯定在 \([1,i]\) 之内，且 Bob 可以重排的区间 \([1,x]\) 满足 \([1,i]\subseteq[1,x]\)，所以 Bob 一定可以将 \(i\) 重新排回第一个，从而让 Alice 输。