首页 > 其他分享 >2023.8.22

2023.8.22

时间:2023-08-22 16:13:10浏览次数:44  
标签:10 le prod 22 复杂度 矩阵 2023.8 sum

有点超模了。签完到跑路。记下做法。

T2

有字符串 \(S\),\(T\),且 \(|S|=n\),\(|T|=m\),均由小写字母构成。

一个匹配指 \(T\) 作为子序列在 \(S\) 中出现,记匹配位置为 \(pos_1,pos_2,\dots,pos_m\),该匹配的权值为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m}A_{pos_i}\).

每次问 \(S[l:r]\) 与 \(T\) 的匹配权值总和,输出它们对 \(\rm 1e9+7\) 取模后的异或和。

\(n\le 2\times 10^5\),\(m\le 30\),\(q\le 10^6\).

emiliatanmajitenshi

\(A_i=1\)

这种情况即求匹配数量 \(\times m\).

假设询问的 \(l=1\).

记 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 处匹配了 \(j\) 个的方案数,显然

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+[s_i=t_j]f_{i,j-1} \]

容易写出转移矩阵

\[A_x[i][i]=1,A_x[i][i+1]=[s_x=t_{i+1}] \]

当 \(l\not=1\) 时我们要的就是一段区间的矩阵的乘积。

线段树维护能做到 \(O((n+q)\log n\cdot m^3)\).

矩阵求逆

简单来说求法如下:

  • 构造 \(n\times 2n\) 的矩阵 \((A,I_n)\).

  • 用高斯消元化为最简形 \((I_n,A^{-1})\),得到 \(A^{-1}\),若最简形左半部分非 \(I_n\) 则 \(A\) 不可逆。

维护矩阵的前缀积和前缀积的逆,时间复杂度 \(O((n+q)m^3)\).

询问答案的时候只关心 \((A\times B)[0][m]\) 这样的,前缀积和逆只有一行或一列有用。

时间复杂度 \(O(nm^3+qm)\),空间 \(O(nm)\).

现在矩乘和求逆的复杂度不够理想。

矩阵初始非 \(0\) 项个数为 \(O(m)\),矩乘后变成 \(O(m^2)\).

先把当前转移矩阵的逆求出来,共 \(26\) 种。

接着就是人类智慧了。

任意 \(A_i\)

显然有

\[\sum_{i}a_i=[x^1]\prod_{i}(1+a_ix) \]

转移矩阵系数变成了二项式。

矩阵种有用的项仍为 \(O(n)\),转移 \(O(n^2)\).

转置原理

记 \(A^T\) 为 \(A\) 的转置。

\[(\prod_{i=1}^{n}A_i)^{-1}=\prod_{i=n}^{1}(A_i^{-1})=(\prod_{i=1}^{n}(A_i^{-1})^T)^T=(\prod_{i=1}^{n}(A_i^T)^{-1})^T \]

\(A\) 和 \(A^T\) 都对应着一种 \(O(n^2)\) 的操作。

这个 \(O(n^2)\) 跑不满。总复杂度不知道。


T3

仙人掌上的负载平衡问题。

\(n\le 10^5\),\(n-1\le m\le 2n-2\),\(0\le w_i,s_i\le 10^4\).

\(w_i\) 为边上 \(1\) 单位资源的转移费用,\(s_i\) 为点 \(i\) 的初始资源量。

图为树

令 \(a_i=s_i-\bar{s}\),目标 \(a_i=0\).

考虑树形 DP:

\[a_{fa}+=a_u,ans+=w_i\times|a_u| \]

图为环

不妨记环上节点标号为 \(1,2,\dots,n\).

记 \(x_i\) 为 \(i\) 向 \(i-1\) 的运输量(为负则反向),那么

\[\begin{cases}a_1-x_1+x_2=0\\a_2-x_2+x_3=0\\\dots\\a_n-x_n+x_1=0\end{cases} \]

那么

\[\begin{cases}x_2=x_1-a_1\\x_3=x_2-a_2=x_1-a_1-a_2\\\dots\end{cases} \]

可以记 \(x_i=x_1-X_i\),答案为

\[\sum w_i|x_i|=\sum w_i|x_1-X_i| \]

把这个绝对值复制 \(w_i\) 遍,最后 \(x_1\) 取中位数即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\).

图为基环树

先将非环上的点按树上做法处理,就只剩下环了。

图为仙人掌

将环处理出来计算贡献并转移。具体不太会。


T4

对于 \(i\in[2,n]\) 向 \(\frac{i}{\operatorname{minp}(i)}\) 连边,问树上点对距离总和。

\(n\le 10^{10}\).

考虑对每个质数计算其贡献。

显然的是两个树的 LCA 是它们质因数分解后的表达式的 LCS。

LCS 部分贡献为 \(0\),剩余部分贡献为 \(1\).

根号分治

Part1

\(>\sqrt{n}\) 的质数只会出现一次,一定位于乘积末尾,贡献与其是否在两个数中同时出现有关。

这一档的答案是

\[\sum_{p>\sqrt{n}}^{n}[p\in P]\lfloor\frac{n}{p}\rfloor(n-\lfloor\frac{n}{p}\rfloor) \]

这个可以用 Min_25 筛做。

Part2

先搞懂那个 Min_25 筛是怎么搞的再说。

标签:10,le,prod,22,复杂度,矩阵,2023.8,sum
From: https://www.cnblogs.com/SError0819/p/17648782.html

相关文章

  • 2023-08-22:请用go语言编写。给定一个长度为N的正数数组,还有一个正数K, 返回有多少子序
    2023-08-22:请用go语言编写。给定一个长度为N的正数数组,还有一个正数K,返回有多少子序列的最大公约数为K。结果可能很大,对1000000007取模。1<=N<=10^5,1<=arr[i]<=10^5。来自腾讯笔试。来自左程云。答案2023-08-22:算法过程分步描述如下:1.初始化数组dp、cnt和pow2,长度为MAX......
  • 最完美WIN11_Pro_23H2.22631.2199软件选装纯净版VIP51.9
    【系统简介】=============================================================1.本次更新母盘来自UUP_WIN11_Pro_23H2.22631.2199。进一步精简优化调整。2.只为呈现最好的作品,手工精简优化部分较多。3.OS版本号为22631.2199。个别要求高的就下MSDN吧,里面啥功能都有。4.集成《DrvCeo......
  • 8.22集训笔记
    上午简单排序P5143攀爬者点击查看代码#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintN=5e4+10;structT{intx,y,z;}a[N];boolcmp(Ta,Tb){returna.z<b.z;//返回是否合法,或者说是否不需要交换}doubledis(inti,intj){returnsq......
  • 热风梳电吹风外销加拿大C22.2 NO.3认证办理流程
    热风梳电吹风是一种常见的家用电器,广泛应用于美容美发领域。如果你想将热风梳电吹风出口到加拿大,那么办理C22.2NO.3认证是必不可少的。本文将为你介绍热风梳电吹风出口加拿大C22.2NO.3认证的办理流程。首先,你需要了解C22.2NO.3认证的相关要求。C22.2NO.3是加拿大标准委员会(CSA)......
  • VS2022 修改MySQL数据
     运行结果:  ......
  • VS2022删除MySQL数据
     //删除----------------------------------------------------------------------------------------------stringsqldelete="DELETEFROMbookshopWHERE编号=6";using(MySqlCommandcommand=newMySqlCommand(sqldelete,conne......
  • VS2022 添加mysql数据
     //添加----------------------------------------------------------------------------------------------stringsqlinsert="INSERTINTObookshop(编号,书名,价格)VALUES(@编号,@书名,@价格)";using(MySqlCommandcommand=newMySqlComma......
  • Haxx curl相关漏洞修复参考[CVE-2022-4355]
    Haxxcurl/libcurl安全漏洞修复参考libcurl是一个免费,易用的客户端传输库,支持DICT,FILE,FTP,FTPS,Gopher,HTTP,HTTPS,IMAP,IMAPS,LDAP,LDAPS,POP3,POP3S,RTMP,RTSP,SCP,SFTP,SMTP,SMTPS,TelnetandTFTP等协议。libcurl支持SSL认证,HTTPPOST,HTTPPUT,FTP上......
  • 「Log」2023.8.21 小记
    序幕七点到校,管理整理博客。然后开始写博客,SAM的。学长开始讲题,2-SAT,还算好理解,写完博客过了下板子题。\(\color{royalblue}{P4782【模板】2-SAT问题}\)板子。\(\text{Link}\)间幕\(1\)吃饭,学长开始讲LCT。和SAM同样抽象的东西。好消息是代码跟SAM一样较为好写......
  • 2023.8.21 正式操作的第一天
    1、熟悉了P17,P26,P27的程序2、P17:eg.printf("computer."\n)特别注意:一个完整的句子一定要句号;                                   引号要么框在\n的后面,要么框在一个整句但是通过分行的第一行的衔接结束......