[KDD 2023] All in One- Multi-Task Prompting for Graph Neural Networks
总结
提出了个多任务prompt学习框架，扩展GNN的泛化能力：
- 统一了NLP和图学习领域的prompt格式，包括prompt token、token structure、inserting pattern
- 构建诱导子图，将点级和边级任务改造为图级任务，统一不同级别的图任务
- 引入元学习技术学习更可靠的多任务prompt，适应多种图任务。
动机
NLP中的prompt learning的思路能够利用预训练语言模型处理经过改编的文本输入，从而将预训练模型泛化到广泛的下游语言任务中。本文希望利用这个思想来实现一个泛化的GNN模型。
概念解释：
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预训练： 使用大规模无标注数据先训练一个模型，得到一个泛化的特征提取器或编码器，再应用于下游的特定任务中。
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经过改编的文本输入： 利用额外的prompt，在输入后面添加额外的提示词或短语，从而将下游任务改编为更贴近预训练任务的形式。如再情感分析任务中在句子后面追加“I feel so [MASK]”转化为词预测任务。
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引诱图（induced graph）： 指以一点为中心，选择k跳邻居，提取子图，并继承原图中的这些点和边的所有特征
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prompt token、token structure、inserting pattern：prompt token是向量化的prompt，token structure表示不同token之间的连接，在language promtp中通常是线性的，graph prompt是非线性的。inserting pattern表示将prompt插入到原始输入中的方式，language里是后面，graph里不定。
这里有个示意图：
NLP里的大量任务都有共通的部分，因此可以很好地用一个大模型泛化大量任务。而graph的问题中，点和边的问题几乎没有交集，因此作者选用了graph-level的问题作为对齐所有问题的task。
图上的预训练
- 基于节点对比的预训练，如GCA（WWW 2021），通过最大化节点表示的一致性来学习节点特征。
- 基于边预测的预训练
- 基于对比学习的整图预训练，如GraphCL（NIPS 2020），SimGRACE（WWW 2022），通过不同增强的同一图之间表示的一致性来学习整体图知识。
预训练的好处： 利用先验知识降低对label的依赖
预训练的缺陷： 毕竟不是为具体的下游任务设计的，难以有效迁移图知识。
解决方法： 预训练泛化图知识，微调最后一层应用于下游任务。
预训练算法的概括
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GCA：根据中心性（度、特征向量模长加权度中心性、pagerank，边的中心性取两点均值，最终的分数要取对数做归一，使用时三选一），越不重要的边/点被删去/mask特征的概率越大
- PageRank: \(\sigma = \alpha AD^{-1} \sigma + (1 - \alpha) I\)。其中\(\sigma\)是点的分数，\(\alpha\)是重启概率（阻尼因子），GCA中是0.85，表示随机跳到其他任意点的概率。
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边预测的预训练：随机游走得到序列，采样点对，有边的正样本，没边的负样本。
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GraphCL、SimGRACE：前者会使用节点删除、边扰动、属性遮挡和子图提取增强数据集，后者则是不处理数据集直接扰动GNN编码器本身。
存在的问题
希望将提示学习的思想引入图中，实现类似的一个泛化的模型支持多种下游任务。为此需要解释prompt内容、prompt结构组织、prompt插入原图等问题。
整体框架
目标： 学习一个可插入到原图中的提示图，进一步弥合图预训练策略于多个下游任务之间的差距，减轻先验知识到不同域的转移困难。
方法：
1. 统一各种图任务同格式的图级任务
2. 基于统一的图级实例，使用包含科学系token，内部结构和自适应插入模式的提示图，进一步弥合多任务之间的差距
3. 建立元学习过程，学习对多任务设置更加适配的图提示
4. 详细设计prompt图和token、结构和插入模式
5. 引入元学习优化提示图参数
改成图级别任务的原因：
1. 点、边操作是图操作的基本组成
2. 图级别的任务更泛化
3. 整图对比学习模型如GraphCL已经被广泛采用
Prompt Graph
给以graph \(G = (V, E)\)，prompt graph\(G_p = (P, S)\)，其中\(P =\{p_1, p_2, \dots, p_{|P|}\}\)，其中\(p_i \in \mathbb{R}^{1 \times d}\)，维度和输入的点特征维度一样，其中\(|P| \ll N\)，\(|P| \ll d_h\)，\(d_h\)是hidden layer的维度。将prompt加到输入特征上构成prompt特征，再输入预训练模型。\(S\)中保存token之间的连接关系（prompt structre）。
token structure建模方法：
- \(A = \cup^{|P| - 1}_{i = 1, j = i+1}\{a_{ij}\}\)，其中\(a_{ij}\)是可调参数（tunable parameter），表示\(p_i\)，\(p_j\)的连接概率。
- 直接根据内积判断连接概率
- 直接认为所有token不连接
inserting patterns:
定义插入函数\(\psi\)，将\(G_p\)插入到\(G\)中得到改造后的图\(G_m\)：
\(\hat{x}_i = x_i + \sum^{|P|}_{k=1}w_{ik}P_k\)
其中\(w_{ik}\)是用于修剪不必要连接的权重：
\(w_{ik} = \left\{ \begin{array}{ll} \sigma(P_k \cdot x^T_i) &,\ if\ \sigma(P_k \cdot x^T_i) \gt \delta \\ 0 &,\ otherwise \\ \end{array} \right.\)
作为替代和特殊情况，也可以使用简化版本：\(\hat{x}_i = x_i + \sum^{|P|}_{k=1}P_k\)
使用Meta Learning的Multi-task Prompting
- 定义任务\(\tau_i\)，包含支持集\(D^{s}_{\tau_i}\)和查询集\(D^q_{\tau_i}\)
- 对于图分类，支持集和查询集包含带标签的图，对于点分类，为每个点构建诱导子图，子图标签为目标点的标签。对于边分类，先构建边诱导子图，子图标签为边的标签
- 定义图参数\(\theta\)，预训练模型固定参数\(\pi^*\)，下游任务参数\(\phi\)，将一个任务的pipline定义为\(f_{\theta, \phi|\pi^*}\)，使用\(\mathcal{L}_{D}(f)\)作为在数据\(D\)上的\(f\)任务的损失函数，对应参数可以用以下公式更新：\[\theta^k_i = \theta^{k-1}_i - \alpha \nabla_{\theta^{k-1}_i}\mathcal{L}_{D^s_{\tau_i}}(f_{\theta^{k-1}_i, \phi^{k-1}_i|\pi^*}) \\
\phi^k_i = \phi^{k-1}_i - \alpha \nabla_{\phi^{k-1}_i}\mathcal{L}_{D^s_{\tau_i}}(f_{\theta^{k-1}_i, \phi^{k-1}_i|\pi^*})
\]其中\(\theta^0_i = \theta\)，\(\phi^0_i=\phi\)，元学习的目标函数:\[\theta^*, \phi^* = \arg \min_{\theta, \phi} \sum_{\tau_i \in \mathcal{T}}\mathcal{L}_{D^q_{\tau_i}}(f_{\theta_i, \phi_i|\pi^*})
\]得到元损失后用二阶梯度更新初始的\(\theta, \phi\)：\[\begin{align}
\theta & \leftarrow \theta - \beta \cdot g^{second}_{\theta}\\
& =\theta - \beta \cdot \sum_{\tau_{i} \in \mathcal{T}} \nabla_{\theta} \mathcal{L}_{D_{q}^{\tau_{i}}}\left(f_{\theta_{i}, \phi_{i} | \pi^{*}}\right) \cdot \nabla_{\theta}\left(\theta_{i}\right)\\
& =\theta - \beta \cdot \sum_{\tau_{i} \in \mathcal{T}} \nabla_{\theta_{i}} \mathcal{L}_{D^{q}_{\tau_{i}}}\left(f_{\theta_{i}, \phi_{i} | \pi^{*}}\right) \cdot\left(I-\alpha H_{\theta}\left(\mathcal{L}_{D^{s}_{\tau_{i}}}\left(f_{\theta_{i}, \phi_{i} | \pi^{*}}\right)\right)\right)
\end{align}
\]其中\(H_{\theta}(\mathcal{L})\)是Hessian matrix，也就是二阶偏导数矩阵，对于其中的每一个值：\((H_{\theta}(\mathcal{L}))_{ij} = \partial^2\mathcal{L}/\partial\theta_i\theta_j\)。
因此这个式子的意思是：对于每一个任务，计算query data对于该任务而优化的参数的偏导乘以support data对于所有任务的参数的二阶偏导
对于\(\phi\)的更新方式相同。
这里可以看出，supporting data从初始参数出发，更新适配每一个任务的参数模型，而query data用于评估适配后的模型在各任务上的泛化能力，并计算元损失，优化初始参数。
Why It Works?
\(\phi^{*} (A, X + p^{*}) = \phi^{*} (g(A, X)) + O_{p\phi}\)
这段代码是已有工作证明过了的一个结论，其中\(\phi^{*}\)是固定的预训练图模型，\(p^{*}\)是优化后的prompt token，\(g\)是任意图级别的变换，\(O_{p\phi}\)是误差界。也就是说，利用prompt token其实是在模拟图级别变换。
然而，prompt token的质量难以保证，因此作者希望直接通过对图进行扰动来得到最后的结果：
\(\phi^{*} (\psi (G, G^{*}_{p})) = \phi^{*} (g(A, X)) + O^{*}_{p\phi}\)
因为\(\psi\)的操作中同时包含prompt token、token structure和inserting patterns，最终能够得到一个误差更小的结果。
实验
数据集
精度实验
效率实验
Flexibility
更多的任务测试
附录
使用海森矩阵（Hessian matrix）实现的二阶优化：
在给出的梯度更新函数中，\(I - \alpha H_{\theta}(\mathcal{L})\)部分涉及到使用单位矩阵减去二阶导数的结果。这个部分可以被理解为对二阶导数进行阻尼修正的一种形式。
通常情况下，二阶优化方法中的更新规则可以表示为：
\(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - \alpha \cdot H^{-1}_{\theta}(\mathcal{L}) \cdot \nabla_{\theta} \mathcal{L}\)
其中，\(H_{\theta}(\mathcal{L})\)是损失函数\(\mathcal{L}\)关于参数\(\theta\)的海森矩阵，\(\nabla_{\theta} \mathcal{L}\)是损失函数关于参数\(\theta\)的梯度，\(\alpha\)是学习率。
然而，在实际应用中，计算和存储海森矩阵的逆矩阵\(H^{-1}_{\theta}(\mathcal{L})\)的开销很大，并且在某些情况下，海森矩阵可能不是正定的，导致逆矩阵不存在。
为了避免这些问题，可以使用阻尼修正来调整更新步长。其中一种常见的阻尼修正方法是使用单位矩阵减去二阶导数的结果，即\(I - \alpha H_{\theta}(\mathcal{L})\)。这个修正项将二阶导数的影响降低到一阶导数的更新中，起到了一种阻尼的作用。
通过引入阻尼修正项，更新规则可以改写为：
\(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - \beta \cdot \left(I - \alpha H_{\theta}(\mathcal{L})\right) \cdot \nabla_{\theta} \mathcal{L}\)
其中，\(\beta\)是一个调整阻尼程度的超参数。
这样做的目的是在保持更新步长的方向性的同时，通过调整阻尼因子\(\beta\)来控制更新步长的大小，以避免算法不稳定或发散。
需要注意的是，具体使用哪种阻尼修正方法以及如何选择阻尼因子\(\beta\)取决于具体的应用和算法。在实践中，通常需要进行一些实验和调整来找到合适的超参数值，以获得更好的优化结果。
关于为什么通常形式中采用海森矩阵的逆：
当我们考虑优化问题时，我们希望找到使目标函数（例如损失函数）最小化或最大化的参数值。为了实现这一目标，我们使用梯度和海森矩阵的逆矩阵来指导参数的更新方向。
首先，我们来看一下梯度的含义和推导：
梯度是一个向量，由目标函数关于参数的偏导数组成。对于一个多元函数 \(f(\theta)\)，其中 \(\theta\) 是参数向量，梯度表示为 \(\nabla_{\theta} f(\theta)\)。梯度的每个分量表示了函数在对应参数上的变化率。
梯度的方向指示了函数在当前参数点上升或下降最快的方向。因此，我们可以使用梯度的负方向来更新参数，以使函数的值减小。参数的更新公式可以表示为：
\(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - \alpha \cdot \nabla_{\theta} f(\theta)\)
其中，\(\alpha\) 是学习率，用于控制参数更新的步长。
接下来，我们将介绍海森矩阵的逆矩阵的含义和推导：
海森矩阵是目标函数关于参数的二阶偏导数矩阵。对于一个多元函数 \(f(\theta)\)，其中 \(\theta\) 是参数向量，海森矩阵表示为 \(H(\theta)\)。海森矩阵的每个元素是函数的二阶偏导数。
海森矩阵的逆矩阵 \(H^{-1}(\theta)\) 是海森矩阵的逆运算。海森矩阵的逆矩阵在优化算法中常用于调整参数更新的步长，以更快地收敛到最优解。
为了理解为什么海森矩阵的逆矩阵能够更好地表示参数更新方向，我们可以考虑泰勒展开式。泰勒展开式可以将目标函数在某个点处进行局部近似。
复习一下泰勒展开的一般形式：
\(f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + \frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a) + \dots\)
对于一个标量函数 \(f(\theta)\)，我们可以使用泰勒展开式来近似函数在参数点 \(\theta_{\text{old}}\) 处的值：
\(f(\theta_{\text{new}}) \approx f(\theta_{\text{old}}) + (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}}) + \frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\)
这些式子都是最一个向量进行的操作，因此\(\theta\)是个列向量，所以\((\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\)的结果是列向量，需要将他转化为行向量，才能和接下来的求导结果（列向量）相乘。
和泰勒展开的一般形式不同，这边和二阶导相乘的是一次的，这是因为海森矩阵本身就是一个二阶信息矩阵（其中的内容不是数，而是二阶导的公式），因此不需要再对前者进行平方操作。
我们希望找到使得 \(f(\theta_{\text{new}})\) 最小化的参数 \(\theta_{\text{new}}\)。为了实现这一目标，我们可以将上述式子取负号，并忽略高阶项，得到近似的损失函数：
\(\mathcal{L}(\theta_{\text{new}}) \approx -f(\theta_{\text{old}}) - (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}}) - \frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\)
我们的目标是最小化损失函数 \(\mathcal{L}(\theta_{\text{new}})\)。为了找到最小值，我们可以对损失函数关于参数的偏导数进行求解：
对于 \(\mathcal{L}(\theta_{\text{new}}) \approx -f(\theta_{\text{old}}) - (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}}) - \frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\)，我们将其对 \(\theta_{\text{new}}\) 进行求导。
首先，我们对 \(-f(\theta_{\text{old}})\) 求导，由于 \(\theta_{\text{old}}\) 是常数，导数为零。
然后，我们对 \((\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\) 求导。这里需要使用矩阵微积分中的链式法则。由于 \(\theta_{\text{old}}\) 是常数，我们可以将 \(\nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\) 视为常数向量。因此，对于 \((\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\) 的导数，我们可以将其视为向量对向量的导数，即 \(\nabla_{\theta_{\text{new}}} [(\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})] = \nabla_{\theta_{\text{new}}} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}}) = \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\)。
接下来，我们对 \(\frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\) 求导。
\[\begin{align*} \frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}}) &= \frac{1}{2}\theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{new}} - \theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}} + \frac{1}{2}\theta_{\text{old}}^T H \theta_{\text{old}} \end{align*} \]在求导过程中，\(\theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}}\) 和 \(\theta_{\text{old}}^T H \theta_{\text{new}}\) 这两项进行了合并，这是因为海森矩阵 \(H\) 是一个对称矩阵，即 \(H = H^T\)。
因此有:
\(\theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}} = (\theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}})^T = \theta_{\text{old}}^T H^T \theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}}^T H \theta_{\text{new}}\)
两项是完全相同的。
利用矩阵的对称性，我们可以合并这两个相同的项，仅保留其中之一，在求导时就可以一并消去。
可以看到\(\theta_{\text{new}}\)仅出现在第一项和第二项中。
对\(\theta_{\text{new}}\)求导，应用矩阵向量求导法则，有:
\[\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta_{\text{new}}} \left[\frac{1}{2}\theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{new}} - \theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}}\right] &= \frac{1}{2}\frac{\partial \theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{new}}}{\partial \theta_{\text{new}}} - \frac{\partial \theta_{\text{new}}^T H \theta_{\text{old}}}{\partial \theta_{\text{new}}} \\ &= \frac{1}{2}(H+H^T)\theta_{\text{new}} - H\theta_{\text{old}} \\ &= H\theta_{\text{new}} - H\theta_{\text{old}} \end{align*} \]因此，对\(\theta_{\text{new}}\)的求导结果为:
\(\frac{\partial}{\partial \theta_{\text{new}}} \left[\frac{1}{2} (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})^T H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\right] = H\theta_{\text{new}} - H\theta_{\text{old}}\)
将以上结果相加，我们得到 \(\nabla_{\theta_{\text{new}}} \mathcal{L}(\theta_{\text{new}}) = -\nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}}) - H(\theta_{\text{old}}) (\theta_{\text{new}} - \theta_{\text{old}})\)。
令上式等于零，我们可以解得：
\(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - H^{-1}(\theta_{\text{old}}) \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\)
这就是使用海森矩阵的逆矩阵来更新参数的公式。
从使用海森矩阵的逆到使用单位矩阵做差：
首先，我们有原始的更新式 \(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - H^{-1}(\theta_{\text{old}}) \nabla_{\theta} f(\theta_{\text{old}})\)，其中 \(H(\theta_{\text{old}})\) 是海森矩阵。
由于海森矩阵往往是非正定的，且逆运算需要更多额外开销，我们使用近似来替代 \(H^{-1}(\theta_{\text{old}})\)。
我们将其近似为 \(\left(I - \alpha H_{\theta}(\mathcal{L})\right)\)，其中 \(H_{\theta}(\mathcal{L})\) 是关于参数 \(\theta\) 的损失函数 \(\mathcal{L}\) 的海森矩阵。能这么干的原因是\(\alpha\)取0时能把式子退化成一阶优化，而保留海森矩阵能增加二阶导数信息。另外，这里使用了差的形式，在保留原本的逆的单调递减的同时，能够更好地限制步长。
接下来，我们引入一个步长参数 \(\beta\)，用于控制每次更新的步长大小。
将近似后的海森矩阵逆和步长参数代入原始的更新式，我们得到 \(\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - \beta \cdot \left(I - \alpha H_{\theta}(\mathcal{L})\right) \cdot \nabla_{\theta} \mathcal{L}\)。
这个替代式的原理是通过近似海森矩阵逆来简化计算，并使用步长参数来控制每次更新的步长大小。这种近似可以在实际应用中减少计算复杂度，并在一定程度上保持更新的方向和速度。然而，需要注意的是，这个替代式是一个近似解，可能会引入一定的误差。
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