2022高联P2数论

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P2:设整数\(n(n>1)\)恰有k个互不相同的质因子，记n的所有正约数之和为\(\sigma(n)\).求证：\(\sigma(n)|(2n-k)!\).

既然已给出了质因子个数和\(\sigma(n)\)，那么就可设出\(n\)的标准分解来表示\(\sigma(n)\)：

\[n=p_1^{α_1}p_2^{α_2}\cdots p_k^{α_k} \]

其中\(p_i\)为\(n\)的质因子且\(α_i∈N^*\)，不妨设\(p_1<p_2<\cdots<p_k\)，则

\[\sigma(n)=(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{α_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{α_2})\cdots(1+p_k+p_k^2+\cdots +p_k^{α_k}) \]

记\(a_i=1+p_i+p_i^2+\cdots +p_i^{α_i}\)
问题变为k个数之积整除一个阶乘，自然先比较每个数与\((2n-k)\)的大小关系:

\[a_i=\frac{p_i^{α_i+1}-1}{p_i-1}\ \]

\[2n-k=2p_1^{α_1}p_2^{α_2}\cdots p_k^{α_k}-k \]

但\(a_i\)指标为\(α_i+1\)与\(2n-k\)的\(α_i\)不太好比较
于是将\(a_i\)指标变为\(α_i\)：

\[a_i=\frac{p_i^{α_i}-1}{p_i-1}+p_i^{α_i}≤p_i^{α_i}-1+p_i^{α_i}=2p_i^{α_i}-1 \]

(这步放缩在\(p_i=2\)时可以取等，所以应该不会太松）
注意\(2n-k\)的形式，这个\(k\)如何处理捏，感觉应该是\(a_i\)的\(k\)倍
事实上这是正确的：

\[ka_i=2kp_i^{α_i}-k≤2p_1^{α_1}p_2^{α_2}\cdots p_k^{α_k}-k \]

(这是因为还有\(k-1\)个质因子，而第\(k-1\)个质数至少是\(k\)）
于是就得出\(1\)到\(2n-k\)中至少有\(k\)个\(a_i\)的倍数
故一定可以找到\(k\)个数\(b_1~b_k\)
满足\(a_i|b_i\)（因为每个数有\(k\)个倍数，不可能被其余\(k-1\)个数占完）
故\(\sigma(n)|(2n-k)!\)\(□\)

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