Matrix Power Series

描述

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

题意

已知矩阵A,算A^1+A^2+....+A^k,元素对m取模

二分递归,如果k为偶数,,因为是等比矩阵,所以前一半和后一半就有一个比例,所以sum(1,k)=sum(1,k/2)+sum(1,k/2)*A^(k/2),继续递归下去

如果k为奇数那么最后一项单独考虑sum(1,k)=sum(1,k/2)+sum(1,k/2)*A^(k/2)+A^k,继续递归直到k=1返回A

递归次数为log(k)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct d//矩阵
{
    int a[31][31];
};
int n,k,m;
d dw;//单位矩阵
d add(d x,d y)//矩阵加法
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            x.a[i][j]+=y.a[i][j];
            x.a[i][j]%=m;
        }
    return x;
}
d cheng(d x,d y)//矩阵乘法
{
    d ans;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            for(int kk=1;kk<=n;kk++)
            {
                ans.a[i][j]+=x.a[i][kk]*y.a[kk][j];
                ans.a[i][j]%=m;
            }
        }

    return ans;
}
d mi(d x,int b)//矩阵快速幂
{
    d ans=dw;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=cheng(ans,x);
        b>>=1;
        x=cheng(x,x);
    }
    return ans;
}
d A;
d aans;
d t;
d sl(int r)//对(1,r)进行递归
{
    if(r==1)
        return A;
    t=sl(r/2);
    if(r&1)//奇数
    {
        return add(add(t,cheng(t,mi(A,r/2))),mi(A,r));
    }
    else//偶数
    {
        return add(t,cheng(t,mi(A,r/2)));
    }
}
void solve()
{
    cin>>n>>k>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dw.a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>A.a[i][j];
            aans.a[i][j]=0;
        }
    aans=sl(k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j!=1) cout<<" ";
            cout<<aans.a[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
}
signed main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
//    freopen(R"(C:\Users\LENOVO\Desktop\c++\in.txt)","r",stdin);
//    freopen(R"(C:\Users\LENOVO\Desktop\c++\out.txt)","w",stdout);
    long long _=1;
//    cin>>_;
    while(_--) solve();
}