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树状数组的扩展应用

时间：2023-07-28 12:12:24浏览次数：41  
标签：树状 int 矩阵 sum 扩展 查询 数组

「观前提醒」

「文章仅供学习和参考，如有问题请在评论区提出」

目录

这里主要讲树状数组的各种扩展应用，至于树状数组的具体实现原理可以看下面的博客。

树状数组 - Oneway` - 博客园


O(N) 建树


对于树状数组最基本的建树方式，就是每个点加值。

时间复杂度：\(O(NlogN)\)

代码实现

int tr[N];	// tr[] 存储树状数组数据
int a[N];	// a[] 存储原数组数据
int n;		// 数列长度

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, c) {
    for (int i = x; i <= n; x += lowbit(x)) 
        tr[i] += c;
}

// 建树
void build() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        add(i, a[i]);
}

对于 \(O(N)\) 建树的应用场景并不是很多，因为普通建树的时间复杂度为 \(NlogN\) 。这个时间复杂度对于大部分题目都是可以接受的，除非有些题目故意卡常什么的。


方法一

我们知道对于树状数组 \(tr[x]\) ，它所维护的区间范围是 \([x - lowbit(x) + 1, x]\)，所以 \(tr[x] = a[x - lowbit(x) + 1, x]\) 。那么我们就先可以求 \(a[]\) 的前缀和，然后通过前缀和 \(O(1)\) 求出 \([x - lowbit(x) + 1, x]\) 的区间和，从而实现 \(O(N)\) 建立树状数组。

代码实现

int tr[N];	// 树状数组数据
int a[N];	// 原数组数据
int sum[N];	// sum[] 存储 a[] 的前缀和
int n;		// 数列长度

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 建树
void build() {
    // 求 a[] 的前缀和 sum[]
	for (int i = 1; i <= n; i++)
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    
    // 利用前缀和求出区间和，O(N)建树
   	for (int i = 1; i <= n; i++)
        tr[i] = sum[i] - sum[i - lowbit(i)];
}

方法二

img

观察上图我们发现，对于 \(O(logN)\) 建树的情况，当 \(C[x]\) 被更新的时候，它们都会再更新它们的父节点。那么这样就会导致 \(C[x]\) 多次更新它的父节点，产生很多重复的计算。

我们还知道，对于 \(C[x]\) 的父节点是 \(C[x + lowbit(x)]\) 。那么我们就可以从 \(1\) 到 \(n\) ，让每个 \(C[i]\) 节点只更新一次自己的父节点就行了。

用这种方式，同样也可以实现 \(O(N)\) 建立树状数组。而且这种方式相对于方法一，会更省事点，也不用提前预处理出来前缀和。

代码实现

int tr[N];	// 树状数组数据
int a[N];	// 原数组数据
int n;		// 数列长度

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 建树
void build() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        tr[i] += a[i];
        
        int fa = i + lowbit(i);	// 获得父节点下标
        if (fa <= n) 	// 判断父节点是否超出数列范围
            tr[fa] += tr[i];
    }
}

维护区间和


单点修改，区间查询

给定一个长度为 \(n\) 的数列，要对数列进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 x y：将 \(x\) 位置的数加上 \(y\) （或者减去 \(y\) 、变成 \(y\)、乘以 \(y\) ）。
  • 2 x y：查询区间 \([x, y]\) 的和。

这是树状数组最基本的用法。

时间复杂度

  • 单点修改 \(O(logN)\)
  • 区间查询 \(O(logN)\)

代码实现

int tr[N];
int a[N];
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 给 x 位置的数加上 c
void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

// 查询 1 ~ x 的区间和
void query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
   	
    return res;
}

// 使用

add(x, c);	// 给 x 位置的数加上 c
add(x, y - (query(x) - query(x - 1)));	// 讲 x 位置的数改为 y

int val1 = query(x);	// 查询 [1, x] 的区间和
int val2 = query(r) - query(l - 1);	// 查询 [l, r] 的区间和
int val3 = query(x) - query(x - 1);	// 查询 x 位置的值

区间修改，单点查询

给定一个长度为 \(n\) 的数列，要对数列进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 x y k：将区间 \([x, y]\) 里的数都加上 \(k\) （或者都减去 \(k\)）。
  • 2 x：查询 \(x\) 位置的值

这里我们需要用到差分，从而利用树状数组来维护差分数组。

  • 区间修改：add(l, k), add(r + 1, -k);
  • 单点查询：query(y) - query(x - 1);

时间复杂度

  • 区间修改：\(O(logN)\)
  • 单点查询：\(O(logN)\)

代码实现

int tr[N];
int a[N];
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 给 x 位置的数加上 c
void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

// 查询 1 ~ x 的区间和
void query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

// 使用

add(r, c), add(l - 1, c);	// 讲区间 [l, r] 都加上 c

int val = query(x) + a[x];	// 查询 x 位置的值

区间修改，区间查询

给定一个长度为 \(n\) 的数列，要对数列进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 x y k：将区间 \([x, y]\) 里的数都加上 \(k\) （或者都减去 \(k\)）。
  • 2 x y：查询 \([x, y]\) 的区间和。

平时遇到这种问题，我们一般都会选择用线段树来解决，但是树状数组也能实现。

这里我们首先想到要用差分数组来实现，但是怎么才能查询区间和呢？

对于数列 \(a[i]\) ，它的差分数组为 \(b[i] = a[i] - a[i - 1]\) ，\(a[i]\) 的值就是 \(b[i]\) 的前缀和。那么对于 \(a[i]\) 的前缀和就有，

\[\begin{align} \sum_{i = 1}^{x} a_{i} &= a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{x} \\ &= \thinspace \thinspace\enspace b_{1} \\ & \quad + b_{1} + b_{2} \\ &\quad+ b_{1} + b_{2} + b_{3} \\ &\quad+ b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} \\ & \quad\quad\quad\vdots \\ &\quad+b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + \cdots + b_{x}\\ 那么就有，&\sum_{i = 1}^{x} a_{i}= \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{i} b_{j} \end{align} \]

如果我们对所列出的式子进行补充，变成一个矩阵，如下图所示。

img

如果我们根据列进行求和，那么前缀和的表示公式就能变形为，

\[\begin{align} \sum_{i = 1}^{x} a_{i} &= (b_{1} + b_{2} + b_{3} + ... + b_{x}) \times (x + 1) - (b_{1} + 2b_{2} + 3b_{3} + ... + xb_{x}) \\ &= \sum_{i = 1}^{x} b_{i} - \sum_{i = 1}^{x} i \times b_{i} \end{align} \]

这样我们就能把问题转化成维护 \(b_{i}\) 和 \(i \times b_{i}\) 的前缀和数组，从而用两个树状数组来 \(tr1\) 和 \(tr2\) 来分别维护 \(b_{i}\) 和 \(i \times b_{i}\) 的前缀和。

  • 区间查询：获取前缀和，直接根据公式计算。
    • 时间复杂度：\(O(logN)\)
  • 区间修改：分别对 \(tr1\) 和 \(tr2\) 所维护的前缀和做出相应的修改。
    • 时间复杂度：\(O(logN)\)
    • 对于 \(tr1\) ，执行 add(x, k), add(y + 1, -k);
    • 对于 \(tr2\) ，执行 add(x, x * k), add(y + 1, (y + 1) * k);

代码实现

#define int long long

int tr1[N];	// 维护 b[i] 的前缀和
int tr2[N];	// 维护 i * b[i] 的前缀和
int a[N];	// 原数组
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 对树状数组 tr[] 执行加和操作
void add(int tr[], int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

// 对树状数组 tr[] 执行查询前缀和的操作
int query(int tr[], int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

// 建树
void build() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int b = a[i] - a[i - 1];	// 差分 b[i]
        add(tr1, i, b);
        add(tr2, i, i * b);
    }
}

// 查询数列的前缀和
int pre_sum(int x) {
    return query(tr1, x) * (x + 1) - query(tr2, x);
}

// 执行操作

// 建树（初始化）
build();

// 区间查询
int val = pre_sum(y) - pre_sum(x - 1);	// [x, y] 的区间和

// 区间修改
add(tr1, x, k), add(tr1, y + 1, -k);	// 修改 tr1[]
add(tr2, x, x * k), add(tr2, y + 1, (y + 1) * -k);	// 修改 tr2[]

整合的维护区间和的完成代码，支持区间修改和区间查询（函数封装好） 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
#define int long long

int tr1[N], tr2[N];
int a[N], n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int tr[], int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int tr[], int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

// 建树
void build() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int b = a[i] - a[i - 1];
        add(tr1, i, b);
        add(tr2, i, i * b);
    }
}

// 查询 [l, r] 的区间和
int sum(int l, int r) {
    int sum1 = query(tr1, r) * (r + 1) - query(tr2, r);
    int sum2 = query(tr1, l - 1) * l - query(tr2, l - 1);
    return sum1 - sum2;
}

// 将 [l, r] 里的数加 k
void add(int l, int r, int k) {
    add(tr1, l, k), add(tr1, r + 1, -k);
    add(tr2, l, l * k), add(tr2, r + 1, (r + 1) * -k);
}

signed main() {
    int q;
    cin >> n >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    
    build();
    
    while (q--) {
        char op[2];
        int l, r, k;
        
        scanf("%s", op);
        
        if (op[0] == 2) {
            scanf("%lld%lld", &l, &r);
            printf("%lld\n", sum(l, r));
        } 
        else {
            scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
            add(l, r, k);
        }
    }
    
    return 0;
}

维护二维子矩阵和（二维树状数组）


单点修改，子矩阵查询

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\)，要对矩阵进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 x y k：将元素 \(A_{x, y}\) 加上 \(k\) （或者都减去 \(k\)）。
  • 2 a b c d：查询左上角为 \((a, b)\) ，右上角为 \((c, d)\) 的子矩阵内所有数的和。

二维树状数组就是树状数组套树状数组。就是在原先一维树状数组的基础上，用此树状数组的节点再来建立树状数组，从而实现维护矩阵和的功能。

我们思考树状数组的修改逻辑，就是当某一个节点被修改时，有多少的节点会被影响到，然后再修改这些被影响的节点。所以对于矩阵 \(A\) 中节点的改变，就会影响到一维树状数组的节点值，然后做出相对应的修改。同样的，一维树状数组的改变，也会影响到第二维树状数组的节点值，也要做出相对应的修改。

一维树状数组的修改是 \(O(logN)\) ，所以会影响到 \(logN\) 个节点。对于一维树状数组每个被修改的节点，都需要再 \(O(logN)\) 更新二维树状数组的节点值。

所以修改操作的时间复杂度为 \(O(log^{2}N)\) 。

而对于二维前缀和的初始化，有 sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]; （不做具体解释，不会的可以先学一学，下面的也一样）。

同理，对于查询操作，我们知道通过二维前缀和来求子矩阵的式子为，Sum = sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];。

那么只需要获取它们维护的前缀和，然后根据公式计算出结果，时间复杂度也为 \(O(log^{2}N)\) 。

那么这就是二维树状数组的基本逻辑，从而实现维护矩阵和的功能。

时间复杂度

  • 初始化：\(N^{2}log^{2}N\)

  • 单点修改：\(O(log^{2}N)\)

  • 子矩阵查询：\(O(log^{2}N)\)

代码实现

#define int long long

int tr[N][N];	// 二维树状数组
int a[N][N];	// 原数组
int n, m;	// 行高和列宽

int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 给 (x, y) 位置的数加上 c
void add(int x, int y, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
            tr[i][j] += c;
}

// 查询 (x, y) 位置的二维前缀和
int query(int x, int y) {
    int res = 0;
    
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += tr[i][j];
    
    return res;
}

// 建立二维树状数组（初始化）
void build() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int val = query(i - 1, j) 
                + query(i, j - 1) 
                - query(i - 1, j - 1) 
                + a[i][j];
            add(i, j, val);
        }
    }
}

// // 查询左上角为(x1, y1), 右下角为(x2, y2) 的子矩阵的和
int query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return query(x2, y2) 
        - query(x1 - 1, y2) 
        - query(x2, y1 - 1) 
        + query(x1 - 1, y1 - 1);
}

// 使用

build();	// 初始化

add(x, y, c);	// 给 (x, y) 位置的数加上 c
add(x, y, -c);	// 给 (x, y) 位置的数减去 c

int sum1 = query(x, y);		// 查询左上角为(1, 1), 右下角为(x, y) 的子矩阵的和
int sum2 = query(a, b, c, d);	// 查询左上角为(a, b), 右下角为(c, d) 的子矩阵的和

子矩阵修改，单点查询

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\)，要对矩阵进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 a b c d k：将左上角为 \((a, b)\) ，右上角为 \((c, d)\) 的子矩阵里的每个元素都加上 \(k\) （或者都减去 \(k\)）。
  • 2 x y：询问元素 \(A_{x, y}\) 的值。

和上面进行区间修改，单点查询的相同，这个是用一维树状数组来维护一维差分数组。那么同理，我们也可以用二维树状数组来维护二维差分数组。

对于二维差分数组，我们每次的矩阵修改操作为，b[x1][y1] += c, b[x2 + 1, y1] -= c, b[x1, y2 + 1] -= c, b[x2 + 1][y2 + 1] += c; ，每次的单点查询操作就是求一次二维前缀和。

时间复杂度

  • 子矩阵修改：\(O(log^{2}N)\)
  • 单点查询：\(O(log^{2}N)\)

代码实现

#define int long long

int tr[N][N];	// 二维树状数组
int a[N][N];	// 原数组
int n, m;	// 行高和列宽

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int y, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
            tr[i][j] += c;
}

void query(int x, int y) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += tr[i][j];
    return res;
}

// 将左上角为 (x1, y1), 右下角为 (x2, y2) 的子矩阵的每个元素都加上 c
void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    add(x1, y1, c);
    add(x2 + 1, y1, -c);
    add(x1, y2 + 1, -c);
    add(x2 + 1, y2 + 1, c);
}

// 使用
add(x1, y1, x2, y2, c);	// 将左上角为 (x1, y1), 右下角为 (x2, y2) 的子矩阵的每个元素都加上 c

int val = query(x, y) + a[x][y];	// 查询 (x, y) 位置的元素值

子矩阵修改，子矩阵查询

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\)，要对矩阵进行 \(Q\) 次以下两种操作：

  • 1 a b c d k：将左上角为 \((a, b)\) ，右上角为 \((c, d)\) 的子矩阵里的每个元素都加上 \(k\) （或者都减去 \(k\)）。
  • 2 a b c d：查询左上角为 \((a, b)\) ，右上角为 \((c, d)\) 的子矩阵内所有数的和。

我们可以像上面处理一维区间和那样思考，通过维护二维前缀和数组来解决问题。

具体思路和推导过程就不赘述了，要想了解的可以看这篇博客：数据结构学习笔记-二维树状数组 - 知乎

具体想法是用四个二维树状数组来分别维护 \(d_{i, j}, (i - 1)d_{i, j}, (j - 1)d_{i, j}, (i - 1)(j - 1)d_{i, j}\) 的二维前缀和数组。

然后通过推导出来的公式来计算前缀和，

\[s_{n, m} = nm \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d_{i, j} - m \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m}(i - 1)d_{i, j} - n \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (j - 1)d_{i, j} + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m}(i - 1)(j - 1)d_{i, j} \]

代码实现

#define int long long

int a[N][N], b[N][N], c[N][N], d[N][N];	// 二维树状数组
int n, m;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int y, int v) {
	for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
            a[i][j] += v;
            b[i][j] += (x - 1) * v;
            c[i][j] += (y - 1) * v;
            d[i][j] += (x - 1) * (y - 1) * v;
        }
    }
}

int query(int x, int y) {
	int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) {
            res += x * y * a[i][j]
                - y * b[i][j]
                - x * c[i][j]
                + d[i][j];
        }
    }
    return res;
}

// 将左上角为 (x1, y1), 右上角 (x2, y2) 的子矩阵的所有元素加上 c
void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    add(x1, y1, v);
    add(x1, y2 + 1, -v);
    add(x2 + 1, y1, -v);
    add(x2 + 1, y2 + 1, v);
}

// 查询左上角为 (x1, y1), 右上角 (x2, y2) 的子矩阵的元素和
int query(int x1, int y1, int x2, int y) {
    return query(x2, y2) 
        - query(x1 - 1, y2)
        - query(x2, y1 - 1)
        - query(x1 - 1, y1 - 1);
}

// 使用

add(x1, y1, x2, y2, c);	// 将左上角为 (x1, y1), 右上角 (x2, y2) 的子矩阵的所有元素加上 c

int sum = query(x1, y1, x2, y2);// 查询左上角为 (x1, y1), 右上角 (x2, y2) 的子矩阵的元素和

求逆序对个数

给定一个长度为 \(n\) 的数列，求其中逆序对的个数。

逆序对：对于 \(1 \le i < j\le n\)，有 \(a_{i} > a_{j}\) 。

归并排序是可以求一个数列中逆序对的个数的，时间复杂度为 \(O(logN)\) 。而树状数组也可以求解此类问题，时间复杂度同样为 \(O(logN)\) ，而且空间复杂度相对于归并排序会更低。

对于逆序对个数的求解，树状数组是通过求每个 \(a_{i}\) 左边比它大的数的个数，然后全部加和得来的。如果每次遍历查肯定不行，那是怎么求出每个 \(a_{i}\) 左边比它大的数的个数的呢？

从 \(1\) 到 \(n\) ，把 \(a_{i}\) 作为下标元素，把 \(a_{i}\) 位置的数 \(+1\) 。然后我们每次查询 \(1 \sim a_{i}\) 的区间和，所得到的值就是 \(1 \sim i\) 中比 \(a_{i}\) 小或相等的元素个数（包括 \(a_{i}\) 自己）。那么 \(1 \sim i\) 中比 \(a_{i}\) 大的元素个数就是 \(i - sum[1, a_{i}]\) 。

img img img img img img img

这样我们遍历 \(1 \sim n\) ，每次 \(O(logN)\) 进行前缀和查询和单点修改，那么总的时间复杂度就是 \(O(NlogN)\) 。

还有，这样的做法是把 \(a_{i}\) 作为下标进行计算。而对于 \(a_{i}\) 是负数或者数很大的情况，就需要加上离散化的操作。

如果这样的话，树状数组的时间和空间消耗相对于归并排序都会更多点（虽然总的时空复杂度是相同的）。其实这样就体现出了归并排序求逆序对的好处，它并不用考虑 \(a_{i}\) 的取值范围，只能说各有优缺吧。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];
int a[N];
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    LL res = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add(a[i], 1);
        // 求逆序对的个数
        res += i - query(a[i]);
    }
    
    cout << res << "\n";
    
    return 0;
}

需要离散化操作的代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];	// 树状数组
LL a[N];	// 原数组
int L[N];	// 离散化后的序列
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

// 离散化，时间复杂度 O(NlogN)
void Unique() {
    vector<LL> t;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        t.push_back(a[i]);
    
    sort(t.begin(), t.end());
    t.erase(unique(t.begin(), t.end()), t.end());
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        L[i] = lower_bound(t.begin(), t.end(), a[i]) - t.begin() + 1;
}

int main() {
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    
    // 离散化
    Unique();

    LL res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add(L[i], 1);
        res += i - query(L[i]);
    }

    cout << res << "\n";
    
    return 0;
}

求数列中小于 x 的元素个数

根据上面求逆序对的思路，我们可以求出数列中小于（大于、小于或等于、大于或等于） \(x\) 的元素个数。

同样的，如果数列中有负数或者数很大，就还得需要 \(O(NlogN)\) 来进行离散化处理。

这里注意，这种方法只支持离线查询，预处理的时间复杂度为 \(O(NlogN)\)，对于每次查询的时间复杂度为 \(O(logN)\) 。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];
int a[N];
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
 	cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    // 预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        add(a[i], 1);
    
    // 查询
    int x;
    cin >> x;
    
    int num1 = query(x - 1);	// 查询小于 x 的元素个数
    int num2 = query(x);		// 查询小于等于 x 的元素个数
    
    int num3 = n - query(x);	// 查询大于 x 的元素个数
    int num4 = n - query(x - 1);// 查询大于等于 x 的元素个数
    
    return 0;
}

需要离散化操作的代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];	// 树状数组
LL a[N];	// 原数组
int L[N];	// 离散化后的数列
int n;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

// 离散化
void Unique() {
    vector<LL> t;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        t.push_back(a[i]);
    
    sort(t.begin(), t.end());
    t.erase(unique(t.begin(), t.end()), t.end());
    
	for (int i = 1; i <= n; i++)
        L[i] = lower_bound(t.begin(), t.end(), a[i]) - t.begin() + 1;
}

int main() {
 	cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    
    // 离散化
    Unique();
    
    // 预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        add(a[i], 1);
    
    // 查询
    int x;
    cin >> x;
    
    int num1 = query(x - 1);	// 查询小于 x 的元素个数
    int num2 = query(x);		// 查询小于等于 x 的元素个数
    
    int num3 = n - query(x);	// 查询大于 x 的元素个数
    int num4 = n - query(x - 1);// 查询大于等于 x 的元素个数
    
    return 0;
}

参考资料

树状数组 - OI Wiki：https://oi-wiki.org/ds/fenwick/

树状数组O(n)建树 荼白777的博客-CSDN博客：https://blog.csdn.net/weixin_45724872/article/details/120110911

算法学习笔记(2) : 树状数组 - 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/93795692

数据结构学习笔记-二维树状数组 - 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/571255016


标签：树状,int,矩阵,sum,扩展,查询,数组
From： https://www.cnblogs.com/oneway10101/p/17587242.html

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