第一部分 按值分裂的 FHQ-Treap
按值分裂的 FHQ-Treap 的典型例题是P3369 【模板】普通平衡树。
思路
FHQ-Treap 是什么?
FHQ-Treap 是二叉搜索树的一种。
比如:
FHQ-Treap 的思想是什么?
分裂->操作->合并
下面我们就来慢慢讲这些操作。
分裂
我们可以根据给定的 \(k\) 将平衡树分成两个部分,一部分节点的值都小于等于 \(k\),一部分节点的值都大于 \(k\)。
比如 \(k = 10\) 时我们把上图分成这样两个部分:
即:
左边的 \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10\) 都小于等于 \(10\),右边的 \(12, 15, 18\) 都大于 \(10\)。
那么,怎么让计算机实现呢?
我们发现图中的 \(9, 10\) 本不相连,但在分裂后却是相连的,所以我们并不能讨论是否只断掉某条边就可以实现分裂。
分裂的过程实际上是在找这个点的过程中完成的:
下面我们以分裂出 \(\leq k\) 这部分为例讲讲怎么实现分裂。
首先我们发现,当遍历到一个节点 \(u\),如果 \(u\) 的值小于等于 \(k\),我们容易根据二叉搜索树的性质得出结论:\(u\) 所有的左子树的值 \(\leq k\):
\(u\) 的右子树的值都不小于 \(u\) 的值,也有可能有 \(\leq k\) 的部分,我们也要把它们(当然也有可能是)连起来。
因为 \(u\) 的右子树任何一个数值都比 \(u\) 的数值要大,所以从 \(u\) 连向任何右边的点都是合法的:
所以当我们在遍历右子树的某个点 \(d\) 的时候,如果又出现了 \(d\) 的值 \(\leq k\),那么就可以把 \(u\) 的连接右子树的边连到 \(d\) 上:
还有一个比较特殊的点,它没有父节点,那么它就作为根。
以上是处理 \(\leq k\) 的部分的思想,处理 \(> k\) 的方法类似,反着来就行了。
合并
FHQ-Treap 和 普通 Treap 一样,也分优先级,维护一个堆的性质。
采用上小下大或上大下小都可以。
合并比分裂容易得多,谁的优先级高,谁就先上。
插入
分裂:假如要插入 \(k\),将平衡树拆分成 \(\leq k\) 和 \(>k\) 两部分;
新建节点:再新建一个节点,值为 \(k\);
合并:先合并 \(\leq k\) 的部分和新建节点,然后再与 \(>k\) 的部分合并。
删除
分裂:假如要删除 \(k\),将平衡树分成 \(<k, =k, >k\) 三个部分。
合并:最后将 \(=k\) 的那个部分的左右子树合并,再把这三个部分合并就可以了。
查询一个数的排名
分裂:将平衡树分裂成 \(\leq (k - 1)\) 和 \(>(k - 1)\) 的两个部分。
结果:排名就是 \(\leq (k - 1)\) 这一子树的大小 \(+1\)。
合并:将分裂出来的两个部分合并。
使用排名来查找数字
设当前遍历到点 \(u\)。
- 如果 \(u\) 的左子树的大小 \(+1\) 等于排名,那么结果就是 \(u\) 这个节点的数字;
- 如果 \(u\) 的左子树大小大于等于排名,说明结果在左子树中,那么递归查询左子树;
- 否则遍历 \(u\) 的右子树,注意,查询右子树时记得将排名减去 \((左子树的大小 + 1)\)。
找 \(x\) 的前驱
分裂:将平衡树分成 \(\leq (x - 1)\) 和 \(>(x - 1)\) 的两个部分
结果:使用上面的“使用排名来查找数字”的方法求出 \(\leq (x - 1)\) 部分的平衡树的最大的一个数。
合并:将分裂出来的两个部分合并。
找 \(x\) 的后继
分裂:将平衡树分成 \(\leq x\) 和 \(>x\) 的两个部分
结果:使用上面的“使用排名来查找数字”的方法求出 \(>x\) 部分的平衡树的最小的一个数。
合并:将分裂出来的两个部分合并。
例题代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct node {
int l, r;
int size;
int rnd;
int key;
} tr[N];
int root, idx;
void pushup(int u) {
tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + 1;
}
int newnode(int key) {
idx++;
tr[idx].key = key;
tr[idx].rnd = rand();
tr[idx].size = 1;
tr[idx].l = tr[idx].r = 0;
return idx;
}
void split(int u, int key, int &x, int &y) {
if (!u) {
x = y = 0;
return;
}
if (tr[u].key <= key) {
x = u;
split(tr[u].r, key, tr[u].r, y);
}
else {
y = u;
split(tr[u].l, key, x, tr[u].l);
}
pushup(u);
}
int merge(int x, int y) {
if ((!x) || (!y)) return x | y;
if (tr[x].rnd < tr[y].rnd) {
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
void insert(int key) {
int x, y, z;
split(root, key, x, y);
z = newnode(key);
root = merge(merge(x, z), y);
}
void del(int key) {
int x, y, z;
split(root, key, x, y);
split(x, key - 1, x, z);
z = merge(tr[z].l, tr[z].r);
root = merge(merge(x, z), y);
}
int get_rank_by_key(int key) {
int x, y, z;
split(root, key - 1, x, y);
int ans = tr[x].size + 1;
root = merge(x, y);
return ans;
}
int get_key_by_rank(int u, int rk) {
if (tr[tr[u].l].size + 1 == rk) return tr[u].key;
else if (tr[tr[u].l].size >= rk) return get_key_by_rank(tr[u].l, rk);
else return get_key_by_rank(tr[u].r, rk - tr[tr[u].l].size - 1);
}
int get_pre(int key) {
int x, y, z;
split(root, key - 1, x, y);
int ans = get_key_by_rank(x, tr[x].size);
root = merge(x, y);
return ans;
}
int get_nxt(int key) {
int x, y, z;
split(root, key, x, y);
int ans = get_key_by_rank(y, 1);
root = merge(x, y);
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int T;
cin >> T;
int opt, x;
while (T--) {
cin >> opt >> x;
if (opt == 1) insert(x);
else if (opt == 2) del(x);
else if (opt == 3) cout << get_rank_by_key(x) << '\n';
else if (opt == 4) cout << get_key_by_rank(root, x) << '\n';
else if (opt == 5) cout << get_pre(x) << '\n';
else cout << get_nxt(x) << '\n';
}
return 0;
}
第二部分 按大小(\(size\))分裂的 FHQ-Treap
按大小分裂的 FHQ-Treap 的典型例题是P3391 【模板】文艺平衡树。
思路
在所有操作中,除了分裂操作以外,都是一样的。
只有分裂操作与按值分裂的不同,比较的对象是大小:
原图:
操作:
结果:
例题代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct node {
int l, r;
int sz;
int key;
int rnd;
int tag;
} tr[N];
int root, idx;
void pushup(int u) {
tr[u].sz = tr[tr[u].l].sz + tr[tr[u].r].sz + 1;
}
int newnode(int key) {
idx++;
tr[idx].key = key;
tr[idx].rnd = rand();
tr[idx].tag = 0;
tr[idx].l = tr[idx].r = 0;
tr[idx].sz = 1;
return idx;
}
void pushdown(int u) {
if (tr[u].tag) {
tr[tr[u].l].tag ^= 1;
tr[tr[u].r].tag ^= 1;
swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[u].tag = 0;
}
}
void split(int u, int sz, int &x, int &y) {
if (!u) {
x = y = 0;
return;
}
pushdown(u);
if (tr[tr[u].l].sz + 1 <= sz) {
x = u;
split(tr[u].r, sz - tr[tr[u].l].sz - 1, tr[u].r, y);
}
else {
y = u;
split(tr[u].l, sz, x, tr[u].l);
}
pushup(u);
}
int merge(int x, int y) {
if ((!x) || (!y)) return x | y;
if (tr[x].rnd > tr[y].rnd) {
pushdown(x);
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
pushdown(y);
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
void insert(int p, int key) {
int x, y, z;
split(root, p - 1, x, y);
z = newnode(key);
root = merge(merge(x, z), y);
}
void reverse_arr(int l, int r) {
int x, y, z;
split(root, r, x, z);
split(x, l - 1, x, y);
tr[y].tag ^= 1;
root = merge(merge(x, y), z);
}
void dfs(int u) {
if (!u) return;
pushdown(u);
dfs(tr[u].l);
cout << tr[u].key << ' ';
dfs(tr[u].r);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, T;
cin >> n >> T;
for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i);
while (T--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
reverse_arr(l, r);
}
dfs(root);
return 0;
}
第三部分 练习
P4008 [NOI2003] 文本编辑器
题目描述
思路
文艺平衡树的基本运用。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3200000;
struct node {
int l, r;
int size;
char key;
int rnd;
} tr[N];
int root, idx;
int newnode(char key) {
idx++;
tr[idx].key = key;
tr[idx].rnd = rand();
tr[idx].size = 1;
tr[idx].l = tr[idx].r = 0;
return idx;
}
void pushup(int u) {
tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + 1;
}
void split(int u, int sz, int &x, int &y) {
if (!u) {
x = y = 0;
return;
}
if (tr[tr[u].l].size + 1 <= sz) {
x = u;
split(tr[u].r, sz - tr[tr[u].l].size - 1, tr[u].r, y);
}
else {
y = u;
split(tr[u].l, sz, x, tr[u].l);
}
pushup(u);
}
int merge(int x, int y) {
if ((!x) || (!y)) return x | y;
if (tr[x].rnd < tr[y].rnd) {
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
int p;
void insert(int sz) {
int x, y, z = 0, s;
split(root, p, x, y);
char ch = 0;
for (int i = 1; i <= sz; i++) {
ch = getchar();
if (ch == '\n' || ch == '\r') {
i--;
continue;
}
s = newnode(ch);
if (!z) z = s;
else z = merge(z, s);
}
root = merge(merge(x, z), y);
}
void del(int sz) {
int x, y, z;
if (!p) {
split(root, sz, x, y);
root = y;
return;
}
split(root, p + sz, x, z);
split(x, p, x, y);
root = merge(x, z);
}
void output(int u) {
if (!u) return;
output(tr[u].l);
putchar(tr[u].key);
output(tr[u].r);
}
void print(int sz) {
int x, y, z;
split(root, p + sz, x, z);
split(x, p, x, y);
output(y);
root = merge(merge(x, y), z);
putchar('\n');
}
int main() {
int T;
char opt[10];
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%s", opt);
if (opt[0] == 'M') scanf("%d", &p);
else if (opt[0] == 'I') {
int sz;
scanf("%d", &sz);
insert(sz);
}
else if (opt[0] == 'D') {
int sz;
scanf("%d", &sz);
del(sz);
}
else if (opt[0] == 'G') {
int sz;
scanf("%d", &sz);
print(sz);
}
else if (opt[0] == 'P') p--;
else p++;
// output(root);
// cout << endl;
}
return 0;
}
P2596 [ZJOI2006] 书架
题目描述
思路
对每一种操作,
对 FHQ-Treap 树按要求进行分裂,
再用不同的顺序进行合并,
就实现了题目中的各种调换。
是练习分裂的绝佳好题。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 90010;
struct node {
int l, r;
int size;
int key;
int rnd;
int fa;
} tr[N];
int root, idx;
int st[N];
int newnode(int key, int fa) {
idx++;
st[key] = idx;
tr[idx].key = key;
tr[idx].fa = fa;
tr[idx].rnd = rand();
tr[idx].size = 1;
tr[idx].l = tr[idx].r = 0;
return idx;
}
void pushup(int u) {
tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + 1;
if (tr[u].l) tr[tr[u].l].fa = u;
if (tr[u].r) tr[tr[u].r].fa = u;
}
void split(int u, int sz, int &x, int &y) {
if (!u) {
x = y = 0;
return;
}
if (tr[tr[u].l].size + 1 <= sz) {
x = u;
split(tr[u].r, sz - tr[tr[u].l].size - 1, tr[u].r, y);
}
else {
y = u;
split(tr[u].l, sz, x, tr[u].l);
}
pushup(u);
}
int merge(int x, int y) {
if ((!x) || (!y)) return x | y;
if (tr[x].rnd < tr[y].rnd) {
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
int get_rank(int ver, int rt) {
int rk = tr[tr[ver].l].size;
while (ver != rt) {
int fa = tr[ver].fa;
if (tr[fa].r == ver) rk += tr[tr[fa].l].size + 1;
ver = fa;
}
return rk + 1;
}
void insert(int p, int key) {
int x, y, z;
split(root, p - 1, x, y);
z = newnode(key, 0);
root = merge(merge(x, z), y);
}
void top(int s) {
int p = get_rank(st[s], root);
int x, y, z;
split(root, p, x, z);
split(x, p - 1, x, y);
root = merge(merge(y, x), z);
}
void bottom(int s) {
int p = get_rank(st[s], root);
int x, y, z;
split(root, p, x, z);
split(x, p - 1, x, y);
root = merge(merge(x, z), y);
}
void change(int s, int t) {
if (!t) return;
int p = get_rank(st[s], root);
int x, y, z, l, r;
if (t > 0) {
split(root, p + 1, x, l);
split(x, p, x, z);
split(x, p - 1, x, y);
}
else {
split(root, p, x, l);
split(x, p - 1, x, z);
split(x, p - 2, x, y);
}
root = merge(x, merge(z, merge(y, l)));
}
int ask(int p) {
return get_rank(st[p], root);
}
int query(int p) {
int x, y, z;
split(root, p, x, z);
split(x, p - 1, x, y);
int ans = tr[y].key;
root = merge(merge(x, y), z);
return ans;
}
int n, m;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x;
cin >> x;
insert(i, x);
}
char opt[10];
int t1, t2;
while (m--) {
cin >> opt;
if (opt[0] == 'T') {
cin >> t1;
top(t1);
}
else if (opt[0] == 'B') {
cin >> t1;
bottom(t1);
}
else if (opt[0] == 'I') {
cin >> t1 >> t2;
change(t1, t2);
}
else if (opt[0] == 'A') {
cin >> t1;
cout << ask(t1) - 1 << '\n';
}
else if (opt[0] == 'Q') {
cin >> t1;
cout << query(t1) << '\n';
}
}
return 0;
}
标签:idx,int,root,tr,Treap,key,图解,FHQ,size
From: https://www.cnblogs.com/PlayWithCPP/p/17548297.html