托勒密定理

定理内容

在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，等号当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线取得（这时也称为欧拉定理）。狭义的托勒密定理也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

它的逆定理也是成立的：若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。

在平面的凸四边形ABCD中，有AB·CD+BC·AD≥AC·BD

定理证明

几何证明

设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，
而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；
因为∠ABK +∠CBK = ∠ABC = ∠CBD +∠ABD，
所以∠CBK = ∠ABD。
因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD相似于△KBC。
因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；
因此AK·BD = AB·CD（*），且CK·BD = BC·DA（#）；
（*）（#）两式相加，得(AK CK)·BD = AB·CD BC·DA；
但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD BC·DA。证毕。

和差化积证明

设弦AB，BC及CD对应的圆周角分别为α，β及γ，外置圆的半径为R，
则有AB=2Rsinα，BC=2Rsinβ，CD=2Rsinγ，AD=2Rsin(α+β+γ)，AC=2R(α+β)，BD=2Rsin(β+γ)。
于是，原托勒密等式化为
sin(α+β)sin(β+γ)=sinαsinγ+sinβsin(α+β+γ)。
现在，只需用和差化积公式，即可推得上式两边都等于
sinαsinβcosβcosγ+sinαcos2βsinγ+cosαsin2βcosγ+cosαsinβcosβsinγ。
证毕。

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，
则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：
(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a-b)(c-d)+ (a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，
两边取模，运用三角不等式得
│(a-b)(c-d)│+│(a-d)(b-c)│≥│(a-c)(b-d)│。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，
这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。
复数证明中的复数可以换成赋范矢量空间中的矢量。
这说明了定理中的四点不一定限于同一平面。

三角不等式
三角不等式是数学上的一个不等式，表示从B到A再到C的距离永不少于从B到C的距离；亦可以说是两项独立对象的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。
矢量：│\(\vec{BA}\)│≤│\(\vec{AC}\)│+│\(\vec{CB}\)│
因为上式等同c≤b+a。 （其中a,b,c为任意三角形的，其中三边）
实数:│a+b│≤│a│+│b│
证明：考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：2ab≤│2ab│
对于(a<0,b>0)∪(b<0,a>0)(即a, b彼此异号)，2ab<│2ab│
对于(a,b≤0)∪(a,b≥0)(即a, b彼此同号)，2ab=│2ab│

辐角
复数的几何形式将复数z=a+bi对应于复平面上的一点Z(a,b).
现设点Z的极坐标为（r,θ）,那么就有a=rcosθ,b=rsinθ,因而复数Z(a,b)也可以表示
(to be continued)
资料来源：维基百科&《数学奥林匹克小丛书第三版高中卷11平面几何》