我最近想到了一种新的证明勾股定理的方法
考虑直角三角形\(ABC\),假设\(B\)是直角,\(AB=x,BC=y\),过\(B\)作\(AC\)的垂线交\(AC\)于\(H\),显然三角形\(ABH\),\(BHC\),\(ABC\)两两相似。
所以\(\frac{AH}{BH}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}\)
令\(AH=kx\),则\(BH=ky\),由射影定理可得\(BH^2=AH*CH\),所以\(CH=k*\frac{b^2}{a}\)
\(AC=(\frac{y^2}{x}+x)*k\)
由于三角形\(ADB\)相似于三角形\(ABC\),得到\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}\)
所以\(\frac{1}{k}=k+\frac{y^2}{x^2}*k\),所以\(k^2(1+\frac{y^2}{x^2})=1\)
解得\(k=\frac{x\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}\)
所以\(AC=\sqrt{x^2+y^2}\)。得证