2023-06-19《计算方法》- 陈丽娟 - 方程的近似解法（注解）

前面介绍了求解方程的二分法、迭代法和牛顿迭代法，这里介绍弦截法，欸特金加速法。

一、弦截法

由于牛顿迭代法需要计算导数，而从上一章节我们看到导数的求解对数值稳定性会产生不良影响，为了避免导数，弦截法利用差商代替导数，其算法格式为：

1. 给定邻域内的两点, , 且.
2. 计算.
3. 若, 停止，否则回到2.
   弦截法的示意图：
   
   弦截法的迭代格式与牛顿法如出一辙，都具有局部收敛性，并且弦截法具有超线性收敛速度。

1. % f目标函数， x0,x1初始点，epsilon 
   

   ---

2. function [xs, xslog] = SecantMeth(f, x0, x1, epsilon, maxit) 
   

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3. xs = x0; 
   

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4. iter = 1; 
   

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5. xslog = []; 
   

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6. if abs(feval(f,x0)) <= epsilon 
   

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7.  
   

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8. else 
   

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9. while abs(feval(f,xs)) > epsilon 
   

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10. if iter > maxit 
    

    ---

11. break 
    

    ---

12. end 
    

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13. fx0 = feval(f,x0); 
    

    ---

14. fx1 = feval(f,x1); 
    

    ---

15. fxdiff = (fx1 - fx0) / (x1 - x0); 
    

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16. xs = x0 - fx0 / fxdiff; 
    

    ---

17. xslog = [xslog xs]; 
    

    ---

18. x0 = x1; 
    

    ---

19. x1 = xs; 
    

    ---

20. iter = iter + 1; 
    

    ---

21. end 
    

    ---

22. end 
    

    ---

23. end 
    

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例子

1. f = @(x) 5 .* x.^3+x.^2-x+1; 
   

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2. epsilon = 1e-8; 
   

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3. x0 = -10; 
   

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4. x1 = 10; 
   

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5. maxit = 1e3; 
   

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6. [xs, xslog] = SecantMeth(f, x0, x1, epsilon, maxit) 
   

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书中另外介绍了Aitken加速算法，但是有些模糊，建议参考 lecture13.pdf 121.66 KB

https://mycareerwise.com/programming/category/numerical-analysis/aitkens-method#c