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[安乐椅#17] 函数对称性与周期性

时间:2023-06-17 20:22:50浏览次数:38  
标签:prime mathbf 17 安乐椅 dfrac 对称性 对称 mx

自对称 & 互对称

自对称

  • \(f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)\) 的图像关于直线 \(x= \dfrac{a+b}{2}\) 对称 \((m \ne 0)\).
    操作方法:将括号内两式取中点可得对称轴,即 \(\dfrac{a+mx+b-mx}{2}=\dfrac{a+b}{2}\).

互对称

  • 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\),则 \(y=f(a+mx)\) 与 \(y=f(b-mx)\) 关于 \(x=\dfrac{b-a}{2m}\) 对称 \((m \ne 0)\).
  • 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\),则 \(y=c+f(a+mx)\) 与 \(y=d-f(b-mx)\) 关于 \((\dfrac{b-a}{2m},\dfrac{c+d}{2})\) 对称 \((m \ne 0)\).
    操作方法:根据 \(f\) 同号/异号判断是轴对称/中心对称,令括号内两式相等可解得对称轴/对称中心的横坐标,即 \(a+mx=b-mx \Rightarrow x=\dfrac{b-a}{2m}\).

对称性推周期性

  • 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \(x=b\) 对称,则 \(f(x)\) 有周期 \(T=2|a-b|\).

  • 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \((b,f(b))\) 对称,则 \(f(x)\) 有周期 \(T=4|a-b|\).

  • 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \((a,f(a))\) 和 \((b,f(b))\) 对称,则 \(f(x)\) 有周期 \(T=2|a-b|\).

函数与导函数的对称性的关系

已知 \(f(x)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上连续可导。

由\(f(x)\)对称性推\(f^\prime(x)\)对称性

  • 若 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 对称,则 \(f^\prime(x)\) 关于 \((a,0)\) 对称。

证明:\(f(a+x)=f(a-x)\)
\(\Rightarrow f^\prime(a+x)=-f^\prime(a-x)\)
\(\Rightarrow f^\prime(a+x)+f^\prime(a-x)=0\)

标签:prime,mathbf,17,安乐椅,dfrac,对称性,对称,mx
From: https://www.cnblogs.com/Gokix/p/Function-Symmetry_Periodicity.html

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