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关于流体力学的三大基本方程

时间:2023-06-13 21:00:13浏览次数:52  
标签:方程 流体力学 frac 流体 变化率 rho partial 三大

质量守恒方程

  • 描述:控制体的质量变化率=流入控制体的质量变化率-流出控制体的质量变化率
  • 方程:$${\frac{\partial\rho}{\partial t}}+\nabla\cdot\left(\rho \vec{V}\right)=0.$$或者另一种形式:$${\frac{\partial\rho}{\partial t}}+{\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}}+{\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}}+{\frac{\partial(\rho w)}{\partial x}}=0$$

动量守恒方程(N-S方程)

  • 描述:(牛顿第二定律)流体的动量变化率=流体所受合外力
  • 方程:局部加速度+对流项=压力梯度+扩散项(以x方向为例)

\[(\frac{\partial u}{\partial t})+(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})=(-{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial p}{\partial x})+({\nu}\ {\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\nu}{\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\nu}{\frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}}}}) \]

其中ν是运动黏度=动力粘度/密度

  • 当无黏时,扩散项为0,这就是欧拉方程

能量守恒方程

  • 描述:流体机械能变化率=流体吸热量变化率+流体对外做功变化率
  • 方程:局部加速度项+对流项=扩散项+压力偏导+耗散函数φ(x方向)

\[(\frac{\partial T}{\partial x})+(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}+w\frac{\partial T}{\partial w})=(\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial z^2})+(\frac{\partial p}{\partial x})+\phi \]

其中压力偏导和耗散函数(作用于流体上变形功产生的能量源)经常可以忽略,k是热传导系数。

雷诺数和普朗特数

\[Re=\frac{惯性力}{摩擦力}=\frac{\rho u d}{\mu} \]

\[Pr=\frac{分子动量扩散率}{分子热扩散率}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k} \]

标签:方程,流体力学,frac,流体,变化率,rho,partial,三大
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