例1： 求：$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin(x)^{\tan(x)}$$
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一般这种指数形，我们都往\(\lim\limits_{x \to +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e\)这个重要极限上凑，所以这个式子我们可以化为：
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所以，最后答案为：$$e^{0} = 1$$
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例2：求$$\lim\limits_{n \to +\infty} \left( \cos(\frac{x}{n}) + \lambda \sin(\frac{x}{n})\right) ^ {n}$$
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有个\(n\)次方，想办法提下来，变为：\(e ^ {\lim\limits_{n \to +\infty} n \times \ln\left( \cos(\frac{x}{n})+\lambda\sin(\frac{x}{n})\right)}\)，对于\(\lim\limits_{n \to +\infty} n \times \ln\left( \cos(\frac{x}{n})+\lambda\sin(\frac{x}{n})\right)\)，发现为无穷乘0型，变形为：\(\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\ln\left( \cos(\frac{x}{n} + \lambda\sin(\frac{x}{n}))\right)}{\frac{1}{n}}\)，运用洛必达法则，则有$$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\frac{1}{\cos(\frac{x}{n}) + \lambda\sin(\frac{x}{n})}\times \left(-\sin(\frac{x}{n}) + \lambda\cos(\frac{x}{n})\right) \times x\left( \frac{1}{n}\right) ^ {'} }{\left(\frac{1}{n} \right) ^ {'}} $$ $$\ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\cos(\frac{x}{n}) + \lambda\sin(\frac{x}{n})}\times \left(-\sin(\frac{x}{n}) + \lambda\cos(\frac{x}{n})\right) \times x $$ $$\ \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\lambda \times \cos(0) \times x}{\cos(0) + \sin(0)}$$，所以最终为\(\lambda x\)，即最终答案为$$e ^ {\lambda x}$$
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例3：$$\lim\limits_{n \to +\infty} (1+x)(1+x ^ {2})(1+x ^ {4})(1+x ^ {8})...(1+x ^ {2 ^ {n}}), |x| < 1$$
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方法1：我们发现\(x\)的指数后一项都是前一项的二倍，即每一项\(x\)都是前面的平方，容易想到平方差公式？将式子化为：$$\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{(1-x) \times (1+x)(1+x ^ {2})(1+x ^ {4})(1+x ^ {8})...(1+x ^ {2 ^ {n}})}{1-x}$$
最终为：$$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{ 1-x ^ {2 ^ {n}}}{1-x} = \frac{1}{1-x}$$
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方法2：找规律吧？？
我们列举一下\(n\)取不同值的情况：$$1 + x$$ $$1 + x + x ^ {2} + x ^ {3}$$ $$1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} + x ^ {7}$$
我们发现都是加到\(x ^ {2 ^ {n} - 1}\)，所以原式为：$$1 + x + x ^ 2 + ... + x ^ {2 ^ {n}-1}$$，观察就是等比数列求和：
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标签：infty,cos,frac,limits,lim,极限,sin From： https://www.cnblogs.com/Miraclys/p/16732099.html