日报

工程数学 实验

1. 算法步骤

    首先定义了目标函数f，然后设置了多个不同的初始点，和最大迭代次数和精度要求。接着进行循环，每次取出一个初始点x0，并把迭代点x初始化为它。同时设定步长a和梯度的范数grad_norm的初始值为正无穷。

然后进入迭代循环：每次计算目标函数的梯度grad，并根据负梯度方向计算下一个迭代点x_new。如果新的目标函数值f(x_new)比当前点f(x)更小，说明朝着正确的方向移动了，可以加大步长；否则说明步长过大会跳过最优点，需要缩小步长。最后更新梯度的范数grad_norm，如果达到精度要求或超过最大迭代次数就退出循环。

在循环结束后，输出迭代结果：初始点、迭代次数、最优点和最优函数值。最后把所有结果输出即可。

   2. 代码

% 定义目标函数

f = @(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

% 最速下降法求解

% 设定初始点和迭代终止准则

x0_list = [-2, 2; -3, 3; 0.5, -1.5]; % 多个不同的初始点

max_iter = 10000;

tol = 1e-5;

for i = 1:length(x0_list)

    x0 = x0_list(i,:);

    x = x0';

    a = 0.01; % 步长

    iter = 0;

    grad_norm = inf; % 初始化为正无穷

    while grad_norm > tol && iter < max_iter

        iter = iter + 1;

        grad = [400*x(1)^3-400*x(1)*x(2)+2*x(1)-2;

                 200*(x(2)-x(1)^2)];

        x_new = x - a*grad;

        if f(x_new) < f(x)

            x = x_new;

            a = a * 1.1; % 放大步长

        else

            a = a * 0.5; % 缩小步长

        end

        grad_norm = norm(grad);

    end

    fprintf('Initial point (%g, %g)\n', x0(1), x0(2));

    fprintf('Number of iterations: %d\n', iter);

    fprintf('Optimal point: (%g, %g)\n', x(1), x(2));

    fprintf('Optimal function value: %g\n', f(x));

    fprintf('\n');

end

   3. 结果

Initial point (-2, 2)

Number of iterations: 413

Optimal point: (-0.300609, 0.00015509)

Optimal function value: 0.0110275

Initial point (-3, 3)

Number of iterations: 560

Optimal point: (-0.300585, 0.000152774)

Optimal function value: 0.0110275

Initial point (0.5, -1.5)

Number of iterations: 87

Optimal point: (1, 1)

Optimal function value: 0

四、心得体会

最速下降法是一种常用的数值优化算法，可以用来求解多元函数的最小值。在实验中，我更加熟练的掌握了该方法的使用。最速下降法是一种经典的优化算法，在很多场景下都具有实用价值。