今天的主要任务是来理解共轭先验以及贝叶斯学习。最近在研究主题模型，里面用到了一些，另外在机器学习中，贝叶斯学习是重要的一个方向，所以有必要学习和掌握。
Contents
1. 贝叶斯学习
2. Beta分布及共轭先验
1. 贝叶斯学习
首先，我从最简单的硬币投掷开始。现在给你一个硬币，假设有
的概率为正面朝上，那么有
的概率是背 面朝上，那么如果在5次投掷过程中，有3次是正面朝上，那么这个
最可能是多少呢？
凭着直观感觉，我们可能会认为是3/5，当然这是根据统计规律得到的结论。那么实际上这是一个二项分布，即
重复n次的伯努利实验。由上述所述，很容易知道其概率表示如下
我们需要这个概率尽量大，那么最终解得
的值为3/5。函数图像如下
但是，我们想象一下，如果在5次投掷过程中，5次都正面朝上，那岂不是得到
的估计值是1？ 很明显这种情 况得到的估计值不合理。为了避免这种“黑天鹅事件”的发生，需要将
值降低一些才能看似更符合常理，那么
我们只需要乘上另一个小于1的概率值就可以达到了。到了这里贝叶斯公式横空出世！如下
其中
叫做先验概率，
叫做似然概率，先验概率是对似然概率的一种补充，如上述的掷硬币。而 后验概率
正比于似然概率和先验概率的乘积。
2. Beta分布及共轭先验
还是以掷硬币为例，我们已经知道了后验概率正比于似然概率和先验概率的乘积。那么在掷硬币实验中，硬币的
朝向服从伯努利分布，在一系列投掷过程中，假设有
次正面朝上，有
次背面朝上，那么似然概率为
现在已经得到了似然概率的形式了，那么如何确定先验概率呢？从理论上来说，任何一个在区间[0, 1]上的分
布函数都符合条件，但是为了更方便地简化计算，最理想的情况就是让先验分布和似然分布有相同的形式，即
如果先验分布是这样的形式，那么计算先验概率和似然概率的乘积就很方便了，只需要将指数相加即可。幸运
的是，有一个很常见的分布恰好满足这个条件，它就是Beta分布。如下
其中
是Gamma函数。现在根据先验概率、似然概率和贝叶斯公式来推导后验概率。推导过程如下
在上述中，先验概率叫做似然概率的共轭先验。所谓共轭就是指这两个概率分布具有相同的形式。
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