[NOIP2001 普及组] 装箱问题

题目描述

有一个箱子容量为 \(V\)，同时有 \(n\) 个物品，每个物品有一个体积。

现在从 \(n\) 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 \(V\)，表示箱子容量。

第二行共一个整数 \(n\)，表示物品总数。

接下来 \(n\) 行，每行有一个正整数，表示第 \(i\) 个物品的体积。

输出格式

• 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

样例 #1

样例输入 #1

24
6
8
3
12
7
9
7

样例输出 #1

0

提示

对于 \(100\%\) 数据，满足 \(0<n \le 30\)，\(1 \le V \le 20000\)。

解析&Code

题目要求求出最小的剩余空间，也就是要求出最大的可装重量

这样，我们可以将一个物体的重量当作它的价值，进而将题目转变为一个基本的01背包问题：

有一个箱子容量为V（正整数，\(0 \le V \le 20000\)），同时有n个物品（\(0 < n \le 30\)），每个物品有一个体积（正整数）和一个价值（等于体积）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使总价值最大。

对于每一个物体，都有两种状态：\(装\) 与 \(不装\)

那么，对于任意重量m的最大价值 f (m) = max ( f ( m - w[i] ) + w[i], f (m) )（w为重量（即价值））

其中，f ( m - w[i] ) 指在装了物品i后，箱子的剩余容量能装的最大重量

f ( m - w[i] ) + w[i] 指在在装了物品i后，箱子能装的最大重量

∴代码为：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[20010],w[40];
int main()
{
	int v,n;
	cin >> v >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> w[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=v;j>=w[i];j--)
		{    
			if(f[j]<f[j-w[i]]+w[i])
			{
				f[j]=f[j-w[i]]+w[i];
			}
		}
	}
	cout << v-f[v];
}