数学期望： 在概率论和统计学中，数学期望(mathematic expectation)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。——摘自百度百科
不懂？太正常了，百度百科就是不写人话。
举个栗子解释一下：
下面看一道例题：蓝桥杯 2022 省赛 A 组 E 题 （蓝桥杯终于出了个好题。）
题意简述
有一只虫想要爬上高度为 \(n\) 的树，初始位于树根, 即高度为 \(0\)，当它从高度 \(i-1\) 爬到高度 \(i\) 时有 \(p_i\) 的概率掉回树根, 求它从树根爬到树顶时，花费总时间的数学期望（一次尝试向上爬花费时间为 \(1\)）。
题目解析
类似的套路，我们设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 爬到 \(n\) 时间的数学期望，答案即为 \(f_0\)。
则从 \(i\) 成功上到 \(i+1\) 的概率是 \(1-p_{i+1}\)，掉回树根的概率 \(p_{i+1}\)，初始状态 \(f_n=0\)。
易得：\(f_i=1+(1-p_{i+1})\times f_{i+1}+p_{i+1}\times f_0\)。
发现此时的 \(f_i\) 与 \(f_{i+1}\) 和 \(f_0\) 有关。有后效性的 DP？怎么办呢？
我们尝试多写几项寻找一下规律：
\(f_0=1+(1−p_1)\times f_1+p_1\times f_0\)
\(f_1=1+(1−p_2)\times f_2+p_2\times f_0\)
\(f_2=1+(1−p_3)\times f_3+p_3\times f_0\)
解方程组……高斯消元会 TLE……
于是直接代入可得 \(f_0=1+(1-p_1)+(1-p_1)\times (1-p_2)+(1-p_1)\times (1-p_2)\times (1-p_3)\times f_n+[p_1+(1-p_1)\times p_2+(1-p_1)\times (1-p_2)\times p_3]\times f_0\)