埃氏筛 & 欧拉筛

Part1 埃氏筛

埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛或爱氏筛，是一种由希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的一种简单检定素数的算法。要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

---百度词条

思想

从一数列中最小质数开始，寻找其倍数，即合数，筛去

直至最后一个质数，此时余下的即数列中所有质数

时间复杂度为 $ O$ ( $ n$ $ log$ $ log$ $ n$ )

图示

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, G = 0;
int prime[1005];
bool ju[1005];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!ju[i]) {
			G++;
			for (int j = 2; j <= n / i; j++)
				ju[i * j] = 1;
			printf("%d\n", i);
		}
	}
	return 0;
}

Part2 欧拉筛 / 线性筛

快于埃氏筛，避免重复标记

思想

每个合数只被它的最小质因数筛去，这样就能保证每个合数只被筛一次

时间复杂度为 $ O$ ( $ n$ )

步骤

$ Step 1$
建立一个数列和质数数列 ($ 2$ 到 $ n$ )

$ Step 2$
取数，判断是否为质数，如果是用这个数乘遍质数数列中的数，即为合数，然后在数列中删去合数

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int G = 0;
int prime[100000005];
bool ju[100000005];

void Get_Prime(int n) {
	ju[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!ju[i]) {
			prime[++G] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= G && i * prime[j] <= n; j++) {
			ju[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	Get_Prime(n);
	for (int i = 1; i <= G; i++) {
		printf("%d\n", prime[i]);
	}
	return 0;
}

Part3 例题

P3383 线性筛

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, q, k;
int prime[100000005];
bool ju[100000005];

void Get_Prime(int n) {
	int G = 0;
	ju[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!ju[i]) {
			prime[++G] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= G && i * prime[j] <= n; j++) {
			ju[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	Get_Prime(n);
	for (int i = 0; i < q; i++) {
		int k;
		scanf("%d", &k);
		printf("%d\n", prime[k]);
	}
	return 0;
}

参考文章

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