(我们所讨论的)曲线:定义域为 (我们所讨论的)空间填充曲线的定义:连续满射 理解一:将 理解二:构造 Exercise 1 Solution (递推). 由伪 Hilbert 曲线的递归定义得 Solution (直观). 注意到 式中 “ 真正的 Hilbert 曲线是由 Theorem 1 (良定义性) 伪 Hilbert 曲线一致收敛(因此也是逐点收敛的). Proof. 对一给定的 Theorem 2 (满射性) Hilbert 曲线是 Proof. 对一给定的 Remark. 需要注意的是,当 Theorem 3 (连续性) Hilbert 曲线在其定义域内连续. Proof. 对一给定的 Exercise 2 Hilbert 曲线是不可求长的. 对一般的曲线而言,逐点收敛于曲线 因此,直接取 Exercise 1 的极限并不可行.根据曲线长度的定义,只有构造出一族直接由 Proof. 考虑划分 环绕填充并连接相邻曲线即可. 等势,劣势于,优势于. “劣势于”是集合上的序关系:自反性、反对称性(Bernstein 定理)、传递性. 事实上更是全序关系,证明需用到选择公理. 有限集,可列集,无限集. 无限集的充要条件:与某一真子集等势(Dedekind 定义). 充分性:归纳取出可列集,该部分映射到后继形成双射. 必要性:即有限集不与任何其真子集等势.冗长,证明略. 无限集并有限或可列集仍与原无限集等势. 本质:可列个可列集的并还是可列集;可列集的有限次笛卡尔积仍是可列集. 写成小数,对角线法. 规范小数(规定其均为无限小数),规范二进制小数. 核心在于不规范小数是可列集. 小数穿插构造法.需要注意的是,构造的 Fun fact: 希尔伯特曲线及性质的形式化理解 - zzdyyy[2] 本文脉络的主要参考. Why does the Hilbert curve fill the whole square? - Math StackExchange[3] 提供了收敛性的较严谨证明. 希尔伯特曲线:无限数学怎样应用于有限世界 - 3Blue1Brown[4] 优秀的可视化. Space-filling curve - Wikipedia[5] 《集合论基础教程》张峰、陶然[6] 扩展阅读: 《Space-filling curves》Hans Sagan[1] 回顾了空间填充曲线发展历史;用形式化的语言刻画了 Hilbert 曲线,见文内引用. (例行)感谢吕导组织研讨课.本次研讨课与宁同学一同准备并主要由后者主讲,在讨论和展示过程中收获颇丰.1 空间填充曲线
1.1 曲线
1.2 空间填充曲线
2 Hilbert 曲线
2.1
2.2 Hilbert 曲线
2.3 全平面填充
2.4 四进制小数表示
2.5 小结
3 集合势理论
3.1 集合的势
3.2 有限集、可列集与无限集
3.3 从可列到不可列
3.4 小结
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References
1. Sagan, H. (1994). Space-filling curves. Springer Science & Business Media.
2. zzdyyy. (2017). 希尔伯特曲线及性质的形式化理解. https://www.cnblogs.com/zzdyyy/p/7636474.html.
3. (https://math.stackexchange.com/users/22857/martin-argerami), M. A. (n.d.). Why does the hilbert curve fill the whole square? Mathematics Stack Exchange. https://math.stackexchange.com/q/142029
4. 3Blue1Brown. (2016). 希尔伯特曲线:无限数学怎样应用于有限世界. https://www.bilibili.com/video/av4201747.
5. Wikipedia. (n.d.). Space-filling curve - wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve.
6. 张峰, & 陶然. (2021). 集合论基础教程. 清华大学出版社.