常用函数
单位阶跃函数
事实上，我们并不怎么关心该函数在x=0 处的值，有的书将其定义为u(0)=1/2 。
其函数图像如下图所示：
单位冲激函数（δ函数/Dirac函数）
单位冲激函数可以看做
其中有：
并且有一个被人们称为“筛选性”的性质。顾名思义，对于任意函数f(t)，都能筛选出f(t0)的值。
对于δ函数，因为它的取值是0或者无穷，所以我们没办法画出它的图像。我们通常用一个向上的箭头来表示它：
用画图工具大致画了下 关于δ函数具体的形式，有很多种定义方法。例如定义为：
δ函数还有很多性质，如偶函数性和伸缩性质，这些性质结合上式就很容易理解了：
矩形函数（门函数）
矩形函数的形状类似一扇门，故有时候我们也称之为门函数。将非0区间的长度称为门宽。例如下面就是门宽为1的门函数（矩形函数）的定义：
其函数图像如下图所示：
门宽为任意正数 的定义如下：
其函数图像如下图所示：
三角波函数
顾名思义，三角波函数就是一个三角形。
其函数图像如下图所示：
半底宽为任意正数 的定义如下：
其函数图像如下图所示：
sinc函数
sinc函数在信号处理中十分常用，因为它的傅里叶变换是门函数。在数学系的教材中，它的定义通常乘以了一个系数π。而在我们工科，通常不乘以π。本文采用的是工科的定义，具体定义如下：
注意到这个函数在x=0处没有定义，但是该点恰好是一个可去间断点，因此将其极限值1作为该点函数值的定义。即sinc(0)=1 。
其函数图像如下图所示：
共轭函数
我们用x*(t) 代表函数x(t) 的共轭函数。
卷积函数
我们用x1(t)*x2(t) 代表x1(t)和x2(t) 的卷积，即：
傅里叶变换相关符号的定义
数学系通常用符号i作为虚数单位，而我们工科一般用
作为虚数单位，本文中所有出现虚数单位的时候都采用j这一符号。并且我们有时候利用关系w=2πf消去逆变换的系数2π。
我们将自变量为角频率ω的F(w) 函数称为f(t) 的傅里叶变换函数，我们将自变量为频率f的S(f) 函数称为s(t) 的频谱函数。
将傅里叶变换过程用花体符号
表示：
将傅里叶逆变换过程用花体符号
表示：
比较明显的是：若s(t)与f(t)相同，则有：
考虑到花体符号表示对变换关系体现得不是那么显明，因此用下式来表现变换关系会相对更加显明：
注意：本文中用到a↔b符号时，均指a的傅里叶变换为b。
频域为ω的傅里叶变换性质大全
我们比较常用的是频域为ω的傅里叶变换，不过这样的变换性质会大量出现常数项(2π)。
线性性质
若
，a、b为常数，则有：
共轭性质
简单地说，实偶对实偶，实奇对虚奇。即：实偶函数的傅里叶变换是实偶函数，实奇函数的傅里叶变换是虚奇函数。
时域平移性
若
,则有：
频域平移性
若 ,则有：
尺度变换性
若 ，对于大于0的常数a，有：
对偶性
若 ，有：
所以
，将变量名对换即得证。
时域微分性
若 ，有：
频域微分性
若 ，有：
时域积分性
若 ，有：
时域卷积
若
，有：
频域卷积
若
，有：
时域初值
若，有：
将t=0 代入傅里叶变换的定义：
频域初值
若 ，有：
帕塞瓦尔等式
若实函数，有：
频域为f的傅里叶变换性质大全
对于功率谱的估计，我们有时使用频域为f的傅里叶变换，这样的变换中，一些地方的常数项(2π)会被消掉，因此结果比较简明。
4.1、线性性质
若、 ，a、b为常数，则有：
4.2、共轭性质
简单地说，实偶对实偶，实奇对虚奇。即：实偶函数的傅里叶变换是实偶函数，实奇函数的傅里叶变换是虚奇函数。
4.3、时域平移性
若 则有：
4.4、频域平移性
若 则有：
4.5、尺度变换性
若 ，对于大于0的常数a，有：
4.6、对偶性
若 ，有：
4.7、时域微分性
若 ，有：
4.8、频域微分性
若 ，有：
4.9、时域积分性
若 ，有：
4.10、时域卷积
若 、 ，有：
4.11、频域卷积
若 、 ，有：
4.12、时域初值
若 ，有：
4.13、频域初值
若 ，有：
4.14、帕塞瓦尔等式
若实函数 ，有：
傅里叶对大全
x(t)<->X(f)的变换对根据对偶性很好记。
标签：FT,函数,变换,定义,频域,傅里叶,时域 From： https://www.cnblogs.com/lanlancky/p/17403749.html