拉普拉斯变换
笔记摘录于悍将吴老二的视频关于拉氏变换这个视频就够了
一、引入概念
求解下面的方程会有困难，因为含有 \(x(t)\) 的导数项。
\[\dot{x}(t)+3x(t)=0 \]但是可以通过 \(Laplace\) 变换来转化为下面的式子，求解 \(x(s)\) 就会变得简单。
\[sx(s)-x(0)+3x(s)=0 \]原理解释
上面的例子就是将一个时域的信号通过拉氏变换转化为频域的信号，即
\[f(t)\xrightarrow{{\scr{L}}} F(s)\\ \]其定义为：
\[F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]我们可以求解出频域的解之后再通过拉普拉斯反变换既可以得到时域下的解
二、常用的拉氏变换对
（1）单位阶跃
已知
\[f(t)= \begin{cases} 0,&\text{if $t$ < 0}\\ 1,&\text{if $t$ $\ge$ 0} \end{cases} \] 则
\[F(s)={\scr{L}}\left[f(t)\right]=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt= \int_0^{+\infty}1\cdot e^{-st}dt =-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}d(-st) =-\dfrac{1}{s}\left[e^{-st}\right]\bigg|_0^{+\infty} =\dfrac{1}{s} \]（2）斜坡
已知
\[f(t)=t \] 则
\[\begin{align} F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}t\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}t\cdot e^{-st}d(-st)\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}td(e^{-st})\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\left[t\cdot e^{-st}\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}dt\right]\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}[-\dfrac{1}{s}]\\[2ex] &=\dfrac{1}{s^2}\\ \end{align} \]（3）加速度
已知
\[f(t)=\dfrac{1}{2}t^2 \] 则
\[\begin{align} F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{2}t^2\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{2}t^2d(e^{-st})\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\left[\dfrac{1}{2}t^2\cdot e^{-st}\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}d\left(\dfrac{1}{2}t^2\right)\right]\\[2ex] &=\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}d\left(\dfrac{1}{2}t^2\right)\\[2ex] &=\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}td\left(t\right)\\[2ex] &=\dfrac{1}{s^3}\\ \end{align} \]（4）脉冲
已知
\[\delta(t)= \begin{cases} \infty,&\text{if $t$ = 0}\\ 0,&\text{if $t$ $\neq$ 0} \end{cases} \quad且\quad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \] 则
\[\begin{align} F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}\delta(t) e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}\delta(t)dt\\[2ex] &=1 \end{align} \]（5）总结
| \(f(t)\) | \(\delta(t)\) | \(1(t)\) | \(t\) | \(\dfrac{1}{2}t^2\) | \(e^{-\alpha t}\) | \(sin\omega t\) | \(cos\omega t\) | \(e^{-\alpha t}sin\omega t\) | \(e^{-\alpha t}cos\omega t\) | \(\dfrac{1}{n!}t^ne^{-\alpha t}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F(s)\) | 1 | \(\dfrac{1}{s}\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) | \(\dfrac{1}{s^3}\) | \(\dfrac{1}{s+\alpha}\) | \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}\) |
三、性质
（1）线性性质
若 \({\scr{L}}\left[f_1(t)\right]\)，\({\scr{L}}\left[f_2(t)\right]\) 则有 \({\scr{L}}\left[f_1(t) \pm f_2(t)\right]=F_1(s) \pm F_2(s)\)；\({\scr{L}}\left[k\cdot f(t)\right]=k\cdot F(s)\)
求解：\({\scr{L}}\left[5+2t\right]\)
技巧：看成是 \({\scr{L}}\left[5\times 1+2\times t\right]\)
（2）位移性质
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[e^{-\alpha t}f(t)\right]= F(s+ \alpha) $
证明：
\[\begin{align} 有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex] 则\quad{\scr{L}}\left[e^{-\alpha t}f(t)\right] &=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-\alpha t}\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-(\alpha+s) t}dt\\[2ex] &= F(s+ \alpha) \end{align} \] 求解：\({\scr{L}}\left[t\cdot e^{-2t }\right]\)
技巧：拉氏变换的时候需要将 \(F(s+ 2)\) 看作为一个整体的 \(s\) 带入
（3）延迟性质
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 \({\scr{L}}\left[f(t-\tau)\right] =e^{-s\tau} F(s)\)
证明：
\[\begin{align} 有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex] 则\quad {\scr{L}}\left[f(t-\tau)\right] &=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-s(t-\tau)}\cdot e^{-s\tau}d(t-\tau)\\[2ex] &=e^{-s\tau}\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-s(t-\tau)}d(t-\tau)\\[2ex] &=e^{-s\tau} F(s) \end{align} \] 求解：\({\scr{L}}\left[u(t-\tau)\right]\)，其中
\[u(t-\tau)= \begin{cases}0, &\text{if $t$ < $\tau$}\\1,&\text{if $t$ $\ge $ $\tau$}\end{cases} \] 技巧：没啥技巧。
四、定理
（1）微分定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[f'(t)\right]= sF(s)-f(0) $
证明：
\[\begin{align} 有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex] 则\quad {\scr{L}}\left[f'(t)\right] &=\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty} e^{-st}df(t)\\[2ex] &=\left[e^{-st}f(t)\right]\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\cdot(-s)dt\\[2ex] &= sF(s)-f(0) \end{align} \] 高阶公式
\[\begin{align} {\scr{L}}\left[f^{(n)}(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f^{(n)}(t)\cdot e^{-st}dt\\[2ex] &=\int_0^{+\infty} e^{-st}df^{(n-1)}(t)\\[2ex] &=\left[e^{-st}f^{(n-1)}(t)\right]\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}f^{(n-1)}(t)e^{-st}\cdot(-s)dt\\[2ex] &=\cdots\\[2ex] &= s^nF(s)-s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) -\cdots - s^1f^{(n-2)}(0) - s^0f^{(n-1)}(0) \end{align} \]（2）积分定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[\int_0^t f(t)dt\right]= \dfrac{1}{s}F(s) $
证明：
\[\begin{align} 有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex] 则\quad {\scr{L}}\left[\int_0^t f(t)dt\right] &=\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f(t)dt\right] e^{-st}dt\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f(t)dt\right] de^{-st}\\[2ex] &=-\dfrac{1}{s}\left[e^{-st}\int_0^t f(t)dt\right]\Bigg|_0^{+\infty}+\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt \\[2ex] &= \dfrac{1}{s}F(s) \end{align} \]（3）终值定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 \(\lim\limits_{t\to0} f(t)=\lim\limits_{s\to 0} sF(s)\)
证明：
\[\begin{alignedat}{5} &由 定义\quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\quad 以及微分定理\quad {\scr{L}}\left[f'(t)\right]= sF(s)-f(0) \\[2ex] &对微分定理等号两边同时取极限,则\lim\limits_{t\to0} {\scr{L}}\left[f'(t)\right]=\lim\limits_{s\to 0} [sF(s)-f(0)]\\[2ex] &左边=\lim\limits_{t\to0} {\scr{L}}\left[f'(t)\right]=\lim\limits_{t\to0}{\scr{L}}\left[f'(t)\right] =\lim\limits_{t\to0}\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot dt=f(t)\bigg|_0^{+\infty}=\lim\limits_{t\to \infty}f(t)-f(0)\\[2ex] &右边=\lim\limits_{s\to 0}[sF(s)-f(0)]=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)-f(0)\\[2ex] &\because左边=右边\\[2ex] &\therefore\lim\limits_{t\to \infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s) \end{alignedat} \]五、拉氏反变换
将一个频域的信号通过拉氏变换转化为时域的信号，即：
\[F(s)\xrightarrow{{\scr{L^{-1}}}} f(t)\\ \]六、应用：求解线性微分方程
标签：infty,2ex,right,变换,st,int,Laplace,left
From： https://www.cnblogs.com/PeterRabbi/p/17402818.html