首页 > 其他分享 >【题解】Luogu[P4900] 食堂

【题解】Luogu[P4900] 食堂

时间:2023-05-13 22:34:48浏览次数:48  
标签:right frac 题解 sum Luogu P4900 mathrm inv left

一到推柿子题。

题意即求 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\sum\limits^{i}_{j=1}\left\{\frac{i}{j}\bmod P\right\}\)

对于 \(\frac{i}{j}\bmod P\) 我们知道即为 \(i\) 乘上 \(j\) 的逆元,即为 \(i\cdot\mathrm{inv}(j)\)

故:

\[\begin{aligned} \sum^{n}_{i=1}\sum^{i}_{j=1} \left\{\frac{i}{j}\right\} &=\sum^{n}_{i=1}\sum^{i}_{j=1}\left\{\frac{i}{j}\bmod P-\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor \right\}\\ &=\sum^{n}_{i=1}\sum^{i}_{j=1}i\cdot\mathrm{inv}(j)-\sum^{n}_{i=1}\sum^{i}_{j=1}\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\\ &=\sum^{n}_{i=1}\left[i\left(\sum^{i}_{j=1}\mathrm{inv}(j)\right)\right]-\sum^{n}_{i=1}\sum^{i}_{j=1}\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\\ \end{aligned} \]

其中 \(\{x\}\) 表示 \(x\) 的小数部分,\(\mathrm{inv}(x)\) 表示 \(x\) 的逆元。

对于 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\left[i\left(\sum\limits^{i}_{j=1}\mathrm{inv}(j)\right)\right]\) 通过前缀和处理。

对于 \(\mathrm{inv}(x)\),\(\mathrm{inv}(i)=\mathrm{inv}(P\bmod i)\cdot(P-\left\lfloor\frac{P}{i}\right\rfloor)\bmod P\),\(\mathrm{inv}(1)=1\)

对于 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\sum\limits^{i}_{j=1}\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\),考虑 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\sum\limits^{n}_{j=1}\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\) 所求即为 \(1\sim i\) 之间有多少 \(j\) 的倍数。定义 \(cnt_i\) 表示 \(i\) 恰好是几个数的倍数,通过筛法求出 \(cnt\),故最后值即为 \(cnt_1+cnt_2+\dots+cnt_i\)

最后答案即为两部分的差。

预处理 \(O(n\log n)\) 询问 \(O(1)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int NR=1e6+5;
const int P=998244353;
int inv[NR],sumi[NR],sum1[NR],sum2[NR],cnt[NR];
void init(){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=NR;++i)
        inv[i]=inv[P%i]%P*(P-P/i)%P;
    for(int i=1;i<=NR;++i)
        sumi[i]=(sumi[i-1]+inv[i])%P;
    sum1[1]=1;
    for(int i=2;i<=NR;++i)
        sum1[i]=(i*sumi[i])%P;
    for(int i=1;i<=NR;++i)
        sum1[i]=(sum1[i-1]+sum1[i])%P;
    for(int i=1;i<=NR;++i)
        for(int j=i;j<=NR;j+=i)
            cnt[j]++;
    for(int i=1;i<=NR;++i)
        sum2[i]=(sum2[i-1]+cnt[i])%P;
    for(int i=1;i<=NR;++i)
        sum2[i]=(sum2[i-1]+sum2[i])%P;
}
void solve(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<((sum1[b]-sum1[a-1]+P)%P-(sum2[b]-sum2[a-1]+P)%P+P)%P<<endl;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
    init();
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)solve();    
    return 0;
}

标签:right,frac,题解,sum,Luogu,P4900,mathrm,inv,left
From: https://www.cnblogs.com/agrumestly/p/17398373.html

相关文章

  • 【题解】Luogu[P6003] USACO20JAN Loan Repayment S
    模拟赛第一题(9pts考虑暴力。枚举\(x\),对于每个\(x\),模拟\(k\)天,判断其是否合法,找出最大的\(x\)。时间复杂度:\(O(n^2)\)36pts考虑优化先前暴力算法。我们不难发现当\(x\)合法时,必然有合法\(x_1\),当且仅当\(x_1<x\)。故\(x\)具有单调性,考虑二分答案。对于\(x......
  • 【题解】Luogu[P8818] CSP-S 2022 策略游戏
    一道简单区间rmq分类讨论题,考场上最后5分钟想出来,没写出来,退役了……给定两个序列\(A_{1},\dots,A_{n}\);\(B_1,\dots,B_n\)规定\(C_{i,j}=A_i\timesB_i\)。题目说小L和小Q必定选择最优策略,而小L先选,小Q后选,小L要使得\(C_{i,j}\)尽可能大,小Q要使得\(C_{i,j}\)......
  • 【题解】Luogu[P1879] [USACO06NOV]Corn Fields G
    Link→状压dp典题,看数据范围就能多半猜到是状压。\(M\)行\(N\)列很不舒服,本篇题解规定为\(N\)行\(M\)列。因为说没有哪两块草地相连,我们不妨一行一行考虑,一行中每格只可能是\(0\)或\(1\),所以一行的总不同状态数是\(2^M\)。我们用二进制表示每一行的状态,对于每一行,暴......
  • 【题解】Luogu[P1967] NOIP2013 提高组 货车运输
    Link→很容易想到一个暴力做法,就是跑一遍Floyd,\(F_{i,j}\)表示\(i\)到\(j\)最大载重量,转移\(F_{i,j}=\max\{F_{i,j},\min\{F_{i,k},F_{k,j}\}\}\)。显然时间复杂度\(O(n^3)\)是过不了的。我们发现,因为是求两点路径中使得最小值最大,实际上有一些较小的路径是不会走......
  • CF1698F题解
    考虑一个函数\(f(a)\),它的返回值是一个二维数组\(b\),接受值是一个数组\(a\)。对于所有\(i=1\ton-1\)的\(i\),把\(b_{a_i}{a_{i+1}}++\),然后返回\(b\)。\(f(a)!=f(b)\)且\(a_1=b_1,a_n=b_n\)是无解的充要条件,因为显然对于数组的每次翻转操作它的\(f\)返回值都不会变。\(f(a)!=f(b......
  • CF1777D Score of a Tree 题解
    题目简述给你一个\(n\)个结点根为\(1\)的树。在\(t=0\)时,每个结点都有一个值,为\(0\)或\(1\)。在每一个\(t>0\)时,每个结点的值都会变成其子结点在\(t-1\)时的值的异或和。定义\(S(t)\)为\(t\)时所有结点值的和。定义\(F(A)\)为树在\(0\let\le10^......
  • CF1777C Quiz Master题解
    题目简述给定一个长度为\(n\)的正整数序列\(a\),以及一个正整数\(m\)。在序列\(a\)中选出一个长度为子序列(不是子段)\(b\),\(\foralli\in[1,m],\existsb_j,b_j\)能整除\(i\)。求所有满足条件的序列\(b\)的极差(最大值于最小值的差)的最小值;若无满足条件序列\(b\)......
  • Educational Codeforces Round 148 (Rated for Div. 2) A-D 题解
    比赛地址A.NewPalindrome题意:给一个回文串,判断是否能重新排成另一个回文串Solution存不同对的个数即可voidsolve(){ strings; cin>>s; intn=s.length(); set<char>st; for(inti=0;i<n/2;i++) { st.insert(s[i]); } if(st.size()>1)cout<<"YES\n"; els......
  • 「SDOI2017」数字表格 题解
    4114「SDOI2017」数字表格题解个人评价:好题且套路多算法标签莫比乌斯反演题目难度:2700题面看我分析题面多组数据,每次给出\(n,m\),求解\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mF_{gcd(i,j)}\),其中\(F\)是斐波那契数列问题分析第一眼化出这个式子肯定是一脸懵,毕竟我们现在做的大......
  • 问题解决:TNS-12543: TNS:destination host unreachable
    环境:11.2.0.3ADG(db11g\db11gadg\db11gcas)在自己先前克隆后的环境互相tnsping报错。tnsping本机ok,tnsping其他机器均报错:[oracle@db11g~]$tnspingjingyuTNSPingUtilityforLinux:Version11.2.0.3.0-Productionon13-MAY-202308:09:11Copyright(c)1997,......