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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
性质1 对任意事件\(A\)，都有\(P(A)\geq 0\)；
性质2 必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)；
性质3 若事件\(A\)与事件\(B\)互斥时，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；
推广 如果事件\(A_1\)，\(A_2\)，⋯，\(A_m\)两两互斥，那么事件\(A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m\)发生的概率等于这\(m\)个 事件分别发生的概率之和，即\(P(A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯+P(A_m )\)
性质4 若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，则\(P(B)=1-P(A)\)，\(P(A)=1-P(B)\)；
证明 若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，则事件\(A\cup B\)是必然事件，即\(P(A\cup B)=1\)，
则\(P(B)+P(A)=1\).
性质5 如果\(A\subseteq B\)，那么\(P(A)\leq P(B)\)；
证明 在古典概型中，对于事件\(A\)与事件\(B\)，如果\(A\subseteq B\)，那么\(n(A)\leq n(B)\)，
所以 \(\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \leqslant \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}\)，即\(P(A)\leq P(B)\).
性质6 设\(A\) ，\(B\)是一个随机试验中的两个事件，有\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
性质\(3\)是性质\(6\)的特殊情况.
基本方法
【题型1】 互斥事件的概率
【典题1】 已知事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，则( )
A．\(P(\bar{A} \cap \bar{B} )=0\) \(\qquad\) B．\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) \(\qquad\) C．\(P(A)=1-P(B)\) \(\qquad\) D．\(P(\bar{A} \cup \bar{B} )=1\)
解析 事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，
对于\(A\)，\(P(A\cap B)=0\)，故\(A\)错误；
对于\(B\)，\(P(A\cap B)=0\)，故\(B\)错误；
对于\(C\)，\(P(A)\leq 1-P(B)\)，故\(C\)错误；
对于\(D\)，\(P(\bar{A} \cup \bar{B} )=P(Ω)=1\)，故\(D\)正确．
故选：\(D\)．
【典题2】 袋中有\(12\)个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是\(\dfrac{1}{3}\)，得到黑球或黄球的概率是\(\dfrac{5}{12}\)，得到黄球或绿球的概率也是\(\dfrac{5}{12}\)，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解析 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，
则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12}\)，
\(P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12}\)，
\(P(B\cup C\cup D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)，
解 \(\left\{\begin{array}{c}
P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12} \\
P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12} \\
P(B)+P(C)+P(D)=\dfrac{2}{3}
\end{array}\right.\)，
得\(P(B)=\dfrac{1}{4}\)， \(P(C)=\dfrac{1}{6}\)， \(P(D)=\dfrac{1}{4}\)，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为\(\dfrac{1}{4}\)，\(\dfrac{1}{6}\)， \(\dfrac{1}{4}\).
【巩固练习】
1.若\(A\)、\(B\)是互斥事件，\(P(A)=0.2\)，\(P(A\cup B)=0.5\)，则\(P(B)=\)( )
A．\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)
2.已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，如果\(P(AB)=0\)，那么\(P(A\cup B)\)等于( )
A．\(0.8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.2\)
3.在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是\(\dfrac{1}{6}\)．事件\(A\)表示“小于\(5\)的偶数点出现”，事件\(B\)表示“小于\(5\)的点数出现”，则一次试验中，事件\(A\cup \bar{B}\)发生的概率是( )
A．\(\dfrac{1}{3}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D ．\(\dfrac{5}{6}\)
4.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量标准分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一个进行检测，设抽到一等品或二等品的概率为\(0.95\)，抽到二等品或不合格品的概率为\(0.25\)，则抽到二等品的概率为( )
A．\(0.05\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(0.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.2\)
5.已知事件\(A\)，\(B\)，\(C\)两两互斥，若\(P(A)=\dfrac{1}{5}\)，\(P(C)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(A\cup B)=\dfrac{8}{15}\)，则\(P(B\cup C)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
6.一个咖啡馆供应主菜、主食和甜点三类食物，可能的选择见表，客人在每个种类中选择一种．
| 种类 | 选择 |
|---|---|
| 主菜 | 鸡肉或烤牛肉 |
| 主食 | 面、米饭或土豆 |
| 甜点 | 冰淇淋、果冻、苹果酱或桃子 |
(Ⅰ)样本空间里一共有多少种结果？
(Ⅱ)令\(A\)表示“选择冰淇淋”，\(B\)表示“选了米饭”．
(ⅰ)列举事件\(AB\)中的样本点；(ⅱ)求\(P(A+B)\)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(\because\)随机事件\(A\)、\(B\)是互斥事件，
\(\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5\)，
\(\because P(A)=0.2\)，
\(\therefore P(B)=0.5-0.2=0.3\)，
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 因为\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，如果\(P(AB)=0\)，
所以\(P(A\cup B)=0.5+0.3=0.8\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 由题意可知\(\bar{B}\)表示“大于或等于\(5\)的点数出现”，事件\(A\)与事件\(\bar{B}\)互斥．
由概率的加法公式可得\(P(A+\bar{B} )=P(A)+P(\bar{B} )=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{2}{3}\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 设事件\(A=\)“抽到一等品“，事件\(B=\)“抽到二等品”，事件\(C=\)“抽到不合格品”，
则\(A\)，\(B\)，\(C\)两两互斥，
由题意知，\(P(A\cup B\cup C)=1\)，\(P(A\cup B)=0.95\)，\(P(B\cup C)=0.25\)，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)+P(C)=1 \\ P(A)+P(B)=0.95 \\ P(B)+P(C)=0.25 \end{array}\right.\)，解得\(P(B)=0.2\)．
故选：\(D\)． -
答案 \(\dfrac{2}{3}\)
解析 因为事件\(A\)，\(B\)，C\(P(B\cup C)=\)两两互斥，
所以\(P(B)=P(A\cup B)-P(A)=\dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3}\)，
所以\(P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\). -
答案 (Ⅰ) \(24\)； (Ⅱ) (ⅰ) \(\{\)鸡肉，\(A\)，\(B\}\)，\(\{\)烤牛肉，\(A\)，\(B\}\) (ⅱ) \(\dfrac{1}{2}\)
解析 (Ⅰ)根据表格中的数据，可得主菜有\(2\)种，主食有\(3\)种，甜点有\(4\)种，
客人在每个种类中选择一种，根据分步计数原理，共有\(2×3×4=24\)种不同的结果
(Ⅱ)(i)事件\(AB\)中的样本点为 \(\{\)鸡肉，\(A\)，\(B\}\)，\(\{\)烤牛肉，\(A\)，\(B\}\)；
(ⅱ)\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}\)．
【题型2】 对立事件的概率
【典题1】 (多选) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是\(\dfrac{1}{2}\)，甲获胜的概率是\(\dfrac{1}{5}\)，下面结论正确的是( )
A．甲不输的概率\(\dfrac{7}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．乙不输的概率\(\dfrac{4}{5}\)
C．乙获胜的概率\(\dfrac{3}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．乙输的概率\(\dfrac{1}{5}\)
解析 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是\(\dfrac{1}{2}\)，甲获胜的概率是\(\dfrac{1}{5}\)，
对于\(A\)，甲不输的概率为：\(P=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}\)，故\(A\)正确；
对于\(B\)，乙不输的概率为：\(P=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\)，故\(B\)正确；
对于\(C\)，乙获胜的概率为：\(P=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}\)，故\(C\)正确；
对于\(D\)，乙输的概率就是甲胜的概率，\(\therefore\)乙输的概率为：\(P=\dfrac{1}{5}\)，故\(D\)正确．
故选：\(ABCD\)．
【巩固练习】
1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出\(1\)个球，摸出红球的概率是\(0.42\)，摸出白球的概率是\(0.28\)，那么摸出黑球的概率是( )
A．\(0.42\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.28\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.7\)
2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件\(A=\{\)抽到一等品\(\}\)，事件\(B=\{\)抽到二等品\(\}\)，事件\(C=\{\)抽到三等品\(\}\)，且已知\(P(A)=0.7\)，\(P(B)=0.15\)，\(P(C)=0.1\)，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．\(0.35\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.65\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.3\)
3.已知事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，则( )
A．\(P(\bar{A} +\bar{B} )=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(P(A+B)=P(A)P(B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(P(A)=1-P(B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(P(\bar{A} +\bar{B} )=1\)
4.事件\(A\)，\(B\)互斥，它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，且\(P(A)=2P(B)\)，则\(P(\bar{A} )=\) \(\underline{\quad \quad}\)，\(P(\bar{B} )=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
5.事件\(A\)，\(B\)互斥，它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，且\(P(A)=2P(B)\)，则 \(P(\bar{A})=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有\(n\)个人正在使用电话或等待使用的概率为\(P(n)\)，且\(P(n)\)与时刻\(t\)无关，统计得到 \(P(n)=\left\{\begin{array}{l}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot P(0)， \quad 1 \leq n \leq 6 \\
0， n \geq 7
\end{array}\right.\)，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率\(P(0)\)的值是\(\underline{\quad \quad}\) ．
7.已知事件\(A\)发生的概率为\(0.5\)，\(B\)发生的概率为\(\dfrac{1}{3}\)，\(C\)发生的概率为\(\dfrac{1}{5}\)，\(P(AB)=\dfrac{1}{10}\)，\(P(AC)=\dfrac{1}{15}\)，\(P(BC)=\dfrac{1}{20}\)，\(P(ABC)=\dfrac{1}{30}\)．试求：
(1)\(A\)与\(B\)至少有一个发生的概率；
(2)\(A\)与\(B\)均不发生的概率；
(3)\(A\)、\(B\)、\(C\)至少有一个发生的概率；
(4)\(A\)、\(B\)、\(C\)均不发生的概率；
(5)\(C\)发生而\(A\)、\(B\)均不发生的概率；\(C\)发生或者\(A\)、\(B\)均不发生的概率．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是\(1-0.42-0.28=0.3\). - 答案 \(D\)
解析 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件\(A=\{\)抽到一等品\(\}\)，事件\(B=\{\)抽到二等品\(\}\)，事件\(C=\{\)抽到三等品\(\}\)，
\(P(A)=0.7\)，\(P(B)=0.15\)，\(P(C)=0.1\)，
则事件“抽到的不是一等品”的概率为： \(P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.7=0.3\)．
故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 对于\(AD\)，\(\because\)事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，
\(\therefore \bar{A} +\bar{B}\)是必然事件，\(\therefore P(\bar{A} +\bar{B} )=1\)，故\(A\)错误，\(D\)正确；
对于\(B\)，\(\because\) 互斥的两个事件不一定是独立事件，
如抛掷一枚骰子，令事件\(A\)为\(1\)朝上，事件\(B\)为\(2\)朝上，
则\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，则\(P(A+B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)，\(P(A)P(B)=\dfrac{1}{36}\)，
\(\therefore P(A+B)=P(A)P(B)\)不一定成立，故\(B\)错误；
对于\(C\)，\(\because\)互斥两个事件不一定是对立事件，
如抛掷一枚骰子，令事件\(A\)为\(1\)朝上，事件\(B\)为\(2\)朝上，
则\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，\(P(A)≠1-P(B)\)，
\(\therefore P(A)=1-P(B)\)，故\(C\)错误．
故选：\(D\)． - 答案 \(\dfrac{3}{5}\)，\(\dfrac{4}{5}\)
解析 由题意得，事件\(A\)，\(B\)互斥，它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，
则\(P(A)+P(B)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\)，
\(\because P(A)=2P(B)\)，
\(\therefore P(A)=\dfrac{2}{5}\)，\(P(B)=\dfrac{1}{5}\)
\(\therefore P(\bar{A} )=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\)，\(P(\bar{B} )=1-P(B)=\dfrac{4}{5}\).
故答案为：\(\dfrac{3}{5}\)，\(\dfrac{4}{5}\). - 答案 \(\dfrac{3}{5}\)
解析 \(\because\)事件\(A\)，\(B\)互斥，\(∴P(AB)=0\)
\(\because\)它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore [1-P(A)][1-P(B)]=\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore 1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-2P(B)-P(B)=\dfrac{2}{5}\)，解得 \(P(B)=\dfrac{1}{5}\)，
\(\therefore P(A)=2P(B)=\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore P(\bar{A})=1-A=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\)．
故答案为：\(\dfrac{3}{5}\)． - 答案 \(\dfrac{64}{127}\)
解析 由题意知：本公用电话亭每次不超过\(7\)人正在使用电话或等待使用，
\(\therefore\)“有\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)个人正在使用电话或等待使用”是必然事件，
\(\therefore\)随机变量\(n\)的值可取\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)，
即\(p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1\)，
\(\therefore p(0)+\dfrac{1}{2} p(0)+\dfrac{1}{4} p(0)+\dfrac{1}{8} p(0)+\dfrac{1}{16} p(0)+\dfrac{1}{32} p(0)+\dfrac{1}{64} p(0)=1\)，
\(\therefore p(0)=\dfrac{64}{127}\)，
故答案为：\(\dfrac{64}{127}\)． - 答案 (1) \(\dfrac{11}{15}\) ；(2) \(\dfrac{4}{15}\)；(3) \(\dfrac{17}{20}\)；(4) \(\dfrac{3}{20}\) ；(5)\(\dfrac{7}{20}\).
解析 (1)\(A\)与\(B\)至少有一个发生的概率为\(P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{11}{15}\)，
(2)\(A\)与\(B\)均不发生的概率为\(1-\dfrac{11}{15}=\dfrac{4}{15}\)，
(3)\(A\)、\(B\)、\(C\)至少有一个发生的概率为
\(P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{51}{60}=\dfrac{17}{20}\)，
(4)\(A\)、\(B\)、\(C\)均不发生的概率为\(1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}\)，
(5)\(C\)发生而\(A\)、\(B\)均不发生的概率为\(P(C\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{C} \bar{A} \bar{B} )=\dfrac{4}{15}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{7}{60}\)，
\(C\)发生或者\(A\)、\(B\)均不发生的概率为\(P(\bar{A} \bar{B} \cup C)=P(\bar{A} \bar{B} )+P(C)-P(C\bar{A} \bar{B} ) =\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{60}=\dfrac{7}{20}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为\(\dfrac{1}{2}\)，乙获胜的概率为\(\dfrac{1}{4}\)，则甲不输的概率为( )
A．\(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{1}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{2}\)
2.已知一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\)，\(B\)至少有一个发生，又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．若\(P(B)=0.6\)，\(P(C)=0.2\)，则\(P(A\cup C)=\) ( )
A．\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.3\)
3.某射手在一次射击中，射中\(10\)环，\(9\)环，\(8\)环的概率分别是\(0.20\)，\(0.30\)，\(0.10\)，则该射手在一次射击中不够\(8\)环的概率为( )
A．\(0.90\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.30\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.60\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.40\)
4.如果事件\(A\)与\(B\)是互斥事件，且事件\(A+B\)的概率是\(0.8\)，事件\(A\)的概率是事件\(B\)的概率的\(3\)倍，则事件\(A\)的概率为( )
A．\(0.2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D ．\(0.7\)
5.已知一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\)，\(B\)至少有一个发生，又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．若\(P(B)=0.6\)，\(P(C)=0.2\)，则\(P(A\cup C)=\)( )
A．\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.3\)
6.下列说法是正确的有( )个．
(1)若事件\(A\)，\(B\)满足\(P(A)+P(B)=1\)；则\(A\)与\(B\)是对立事件；
(2)\(A\)、\(B\)是两个概率大于\(0\)的随机事件\(P(A)+P(B)\leq 1\)；
(3)事件\(A\)与事件\(B\)中至少有一个发生的概率一定比\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率大；
(4)事件\(A\)与事件\(B\)同时发生的概率一定比\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率小；
(5)若事件\(A\)，\(B\)，\(C\)彼此互斥，则\(P(A)+P(B)+P(C)=1\)．
A. \(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(3\)
7.若随机事件\(A\)，\(B\)互斥，\(A\)，\(B\)发生的概率均不等于\(0\)，且\(P(A)=2-a\)，\(P(B)=4a-5\)，则实数\(a\)的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\)．
8.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为\(0.25\)、\(0.20\)、\(0.35\)，则不命中靶的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知三个事件\(A\)，\(B\)，\(C\)两两互斥且\(P(A)=0.3\)，\(P(\bar{B} )=0.6\)，\(P(C)=0.2\)，则\(P(A\cup B\cup C)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
10.掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\)，已知\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．
11.设事件\(A\)的对立事件为\(B\)，已知事件\(B\)的概率是事件\(A\)的概率的\(2\)倍，则事件\(A\)的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
12.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为\(0.025\)，炸中第二、三军火库的概率均为\(0.1\)，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库爆炸的概率．
13.根据某省的高考改革方案，考生应在\(3\)门理科学科(物理、化学、生物)和\(3\)门文科学科(历史、政治、地理)的\(6\)门学科中选择\(3\)门学科参加考试，根据以往统计资料，\(1\)位同学选择生物的概率为\(0.5\)，选择物理但不选择生物的概率为\(0.2\)，考生选择各门学科是相互独立的．
(1)求1位考生至少选择生物，物理两门学科中的\(1\)门的概率；
(2)某校高二\(400\)名学生中，选择生物但不选择物理的人数为\(140\)，求\(1\)位考生同时选择生物、物理两门学科的概率．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为\(\dfrac{1}{2}\)，乙获胜的概率为\(\dfrac{1}{4}\)，
则甲不输的概率为\(P=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\)，\(B\)至少有一个发生，
事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．\(P(B)=0.6\)，\(P(C)=0.2\)，
\(\therefore P(A)=1-P(B)=0.4\)，
则\(P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 由题意知射手在一次射击中不够\(8\)环的对立事件是射手在一次射击中不小于\(8\)环，
\(\because\)射手在一次射击中不小于\(8\)环包括击中\(8\)环，\(9\)环，\(10\)环，这三个事件是互斥的，
\(\therefore\)射手在一次射击中不小于\(8\)环的概率是\(0.20+0.30+0.10=0.60\)，
\(\therefore\)射手在一次射击中不够\(8\)环的概率是\(1-0.60=0.40\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 事件\(A\)与\(B\)是互斥事件，且事件\(A+B\)的概率是\(0.8\)，事件\(A\)的概率是事件\(B\)的概率的\(3\)倍，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)=0.8 \\ P(A)=3 P(B) \end{array}\right.\)，解得\(P(A)=0.6\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\)，\(B\)至少有一个发生，
事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．\(P(B)=0.6\)，\(P(C)=0.2\)，
\(\therefore P(A)=1-P(B)=0.4\)，
则\(P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 以抛掷一个骰子为例，
(1)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\)，\(B=\{\)出现点数不超过\(2\}\)，
则\(P(A)+P(B)=1\)，但\(A\)与\(B\)不是对立事件；
故说法不正确；
(2)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\)\(B=\{\)出现点数不小于\(3\}\)，
则\(P(A)=\dfrac{2}{3}\)，\(P(B)=\dfrac{2}{3}\)，
则\(P(A)+P(B)>1\)；
故说法不正确；
(3)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(2\}\)，\(B=\{\)出现点数不小于\(5\}\)，
则事件\(A\)与事件\(B\)中至少有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)；
\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)；
故说法不正确；
(4)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\)，\(B=\{\)出现点数不超过\(3\}\)，
则事件\(A\)与事件\(B\)同时发生的概率\(=P(B)=\dfrac{1}{2}\)，
\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{6}\)，
故说法不正确；
(5)若事件\(A=\{\)出现\(1\)点\(\}\)，\(B=\{\)出现\(2\)点\(\}\)，\(C=\{\)出现\(3\)点\(\}\)，
则事件\(A\)，\(B\)，\(C\)彼此互斥，
但\(P(A)+P(B)+P(C)=\dfrac{1}{2}\)；
故说法不正确；
故选：\(A\)． -
答案 \(\left(\dfrac{5}{4}， \dfrac{4}{3}\right]\)
解析 \(\because\)随机事件\(A\)、\(B\)互斥，\(A\)、\(B\)发生的概率均不等于于\(0\)，且\(P(A)=2-a\)，\(P(B)=4a-5\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 0<P(A)<1 \\ 0<P(B)<1 \\ P(A)+P(B) \leqslant 1 \end{array}\right.\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l} 0<2-a<1 \\ 0<4 a-5<1 \\ 3 a-3 \leqslant 1 \end{array}\right.\)，解得：\(\dfrac{5}{4}<a \leqslant \dfrac{4}{3}\)，
故答案为： \(\left(\dfrac{5}{4}， \dfrac{4}{3}\right]\)． -
答案 \(0.2\)
解析 由题意知，射手命中的概率为\(0.25+0.20+0.35=0.8\)，
又由射手命中靶与不命中靶为对立事件，故不命中靶的概率是\(1-0.8=0.2\)，
故答案为\(0.2\). -
答案 \(0.9\)
解析 三个事件\(A\)，\(B\)，\(C\)两两互斥，
\(P(\bar{B} )=0.6\)，可得\(P(B)=1-0.6=0.4\)，
则\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9\)．
故答案为：\(0.9\)． -
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 由于若设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\)，
则事件\(A\)，\(B\)为互斥事件，又由\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，
则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(P(A+B)=P(A)+P(B)=\dfrac{1}{3}\)，
故答案为\(\dfrac{1}{3}\). -
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 由条件可知\(P(B)=2P(A)\)，又\(P(A)+P(B)=1\)，
所以\(P(A)+2P(A)=1\)，则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\). -
答案 \(0.225\).
解析 设\(A\)、\(B\)、\(C\)分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，\(D\)表示军火库爆炸，
则\(P(A)=0.025\)，\(P(B)=0.1\)，\(P(C)=0.1\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)互斥，
故\(P(D)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225\). -
答案 (1) \(0.7\)；(2) \(0.15\)
解析 (1)设事件\(A\)表示“考生选择生物学科”，事件\(B\)表示“考生选择物理但不选择生物学科”，
事件\(C\)表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的\(1\)门学科”，
则\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.2\)，\(C=A\cup B\)，\(A\cap B=∅\)，
\(\therefore 1\)位考生至少选择生物，物理两门学科中的\(1\)门的概率：
\(P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7\)．
(2)设事件\(D\)表示“选择生物但不选择物理”，事件\(E\)表示“同时选择生物、物理两门学科”，
\(\because\)某校高二400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为\(140\)，
\(\therefore P(D)=\dfrac{140}{400}=0.35\)，
\(\because D\cup E=A\)，
\(\therefore 1\)位考生同时选择生物、物理两门学科的概率：
\(P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15\)．
【B组---提高题】
1.袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共\(7\)个，其中白球\(3\)个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取， ...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1) 求取球\(2\)次即终止的概率，
(2) 求甲取到白球的概率.
参考答案
- 答案 (1) \(\dfrac{2}{7}\) ；(2)\(\dfrac{2 2}{35}\)
解析 (1)设事件\(A\)为取球\(2\)次即终止即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，
借助树状图求出相应事件的样本点数：
因此 \(P(A)=\dfrac{4 \times 3}{7 \times 6}=\dfrac{2}{7}\)，
(2)设事件\(B\)为甲取到白球，第次取到白球为事件\(i=1，2，3，4，5\)，
因为甲先取，所以甲只可能在第\(1\)次，第\(3\)次和第\(5\)次取到白球借助树状图求出相应事件的样本点数，
所以\(P(B)=P(A_1\cup A_3\cup A_s )=P(A_1 )+P(A_3 )+P(A_5 )\)
\(=\dfrac{3}{7}+\dfrac{4 \times 3 \times 3}{7 \times 6 \times 5}+\dfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{6}{35}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{22}{35}\).