从奈奎斯特采样定理推导FMCW雷达系统性能参数

公众号【调皮连续波】

2023年度会员内容更新公告（04.07）

【正文】

编辑 |  调皮哥的小助理        审核 | 调皮哥

上文从FMCW毫米波雷达系统的性能参数理解4D成像毫米波雷达的设计思路，谈到关于设计4D毫米波成像雷达的思路，其实我还忽略了一点，在这里补充说明一下。

在文中谈到的最小化公式中，分母的有效带宽其实可以通过跳频技术来增加，并采用相参合成方式提高距离分辨率，从而实现高距离分辨率。这里的核心技术是跳频，而步进调频连续波是其中的一种特例。

好了，今天主要分享从奈奎斯特采样定理推导FMCW雷达系统性能参数。

1、最大不模糊距离

距离维度，也被称为快时间维，其采样率满足如下关系：

实采样复采样如果不满足上述条件，就会出现距离维度的混叠，也就是距离模糊。采样定理的本质是频谱搬移，如下图中红色交叉部分，混叠部分的频谱将会体现在距离维FFT后的距离门上，使得雷达距离估计出现错误。

因此，最大不模糊距离公式为： 

如果采样率满足采样定理，那么最大不模糊距离（最大探测距离）就由FMCW的最大中频带宽决定，如果不满足采样定理，则最大不模糊距离就由 上述公式决定。也就是说采样率不够，频谱搬移没有完全搬出去，剩下的红色部分交叉在尾部的频带上产生了混叠。

一般来说，雷达都是满足采样定理的，这里只是想到了这个话题，就随便说了几句。

2、最大不模糊速度

同理，雷达对目标的速度采样也要满足采样定理，否则会在速度维度，也被称为快时间维产生混叠，也就是速度模糊。

一般来说，雷达并不知道目标的运动速度是多少，因此雷达工程师必须要设置一个边界，比如最大探测速度是100Km/h。如果目标的速度超过这个边界值，则会出现模糊，意思就是超过了雷达的对速度的采样，会出现混叠。

其实我主要关心的是下面这个公式，即  ，为什么成立？

用几何的方式可以理解，即角频率超过180°后出现了相位模糊，但是我想从公式角度推导一下。

其实，无论我们如何设计雷达的波形参数，雷达检测目标的速度是有限的，不可能无穷大。因此，雷达的最大不模糊速度是有界的，即存在收敛。

因此，我们设计雷达系统时设计好PRT后，对速度的采样率就固定不变了，可以用下列公式表达： 

 其中，Tc是Chirp的间隔时间，也就是PRT。采样后的信号的最高频率等于信号的采样率，我们可以先假定当前已经满足了采样定理，即： 

 然后根据目前这个参数，去求解最大不模糊速度即可，最后再推导出  的结论。

f是多普勒频率，其实雷达对目标运动速度的采样本质上就是对多普勒频率进行采样，故： 

 而  ，则可以得到： 

最终得到  ，即得到： 

也就是说可以推出之前的结论，由此出发即可证明最大不模糊速度为： 

3、最大不模糊角度

最大不模糊角度就是不产生栅瓣的FOV，即不产生角度混叠的FOV。我们可以认为雷达对空间的采样率是由阵元的间距d来决定的，即可以用下列公式表示： 

其中，d越大即空间采样率越小，d越小对空间的采样率越大，我们会推导d为什么小于半波长不会出现栅瓣（混叠）。

这里我们同样会遇到一个问题，即 

同理，我们先假定当前的空间采样率已经满足了某个最大的FOV，我们可以得到： 

其中，f是什么呢？我想把它定义为探测到的目标在相邻天线间的形成的相位差等效而形成的最大频率，也就是目标所在的方位信息映射在频率上的值。其中d是阵元间距，也是空间采样间隔，则可以得到： 

  下面看看为什么阵元间距d需要小于半波长才不会出现栅瓣。利用上面推导出来的结论可以继续得到： 

 其中，右侧的最小值也要大于d，因此右侧取最小值时，要求 

好了，今天的分享到此结束，本文不涉及任何利益，都是空闲时候的个人心得和体会，仅供参考。目前我的工作经验尚浅，如果还有没有说到、说错或者不全面的地方，还请指正，感谢大家。