[数学]几何证明：圆心角不超过180°的扇形的弧上任意一点到两边的垂线的垂足间的距离相等

标签：beta cos cdot 圆心角 180 垂足 alpha sin

证明：

如图，设\(\angle POA=\alpha,\ \angle POB=\beta,\ \angle AOB=\gamma,\ PO=r\)。

则

\[OC=r\cos\alpha,\ OD=r\cos\beta,\\ CP=r\sin\alpha,\ DP=r\sin\alpha \]

由\(\angle PDO+\angle PCO=180^\circ\)得\(OCPD\)四点共圆
由托勒密定理得：

\[\begin{align} OP\cdot CD&=DP\cdot OC+OD\cdot PC\\ r\cdot CD&=r\sin\alpha\cdot r\cos\alpha+r\cos\beta\cdot r\sin\alpha\\ CD&=r(\sin\alpha\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha) \end{align} \]

由正弦两角和公式\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha\)得

\[CD=r\sin(\alpha+\beta)=r\sin\gamma \]

由于半径\(r\)和扇形圆心角\(\gamma\)都是定值，所以圆心角不超过180°的扇形的弧上任意一点到两边的垂线的垂足间的距离相等，且这两点间的距离恒为半径与圆心角正弦值的乘积。

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