这里记录一下一些在《Statistical mechanics: entropy, order parameters, and complexity》这本书的第一章中的一些比较有趣的题目。
Q1
There are M dice each with N sides(labeled by integers) and at each turn every dice is thrown independently one after another, and then the points of each dice are recorded, and a sequence of length M obtained in one turn is recorded as a pattern. A legal pattern requires that the number in the sequence is monotonically un-decreasing. The problem is how many legal patterns are there?
Solution 1
我们先从一些简单的例子开始入手，比如说当\(M=4,N=3\)时，一种合理的pattern应该是<1,1,2,3>，我们可以进一步描述这个pattern是两个1，一个2，一个3组成的，即通过这种描述我们可以唯一确定一个合理的pattern(尽管这样的描述在无序的情况下对应多种可能，但是在有序(排列后)只有一种可能)。对于这种描述就相当于下面的一种representation:
11 | 2 | 3
在不同数字的交界处放置一个隔板(bar), 当pattern是由三种数字组成的时候(本例子)，就必然会放上\(3-1=2\)个隔板，所以说当一个pattern是\(k\)种数字组成的时候，应该放上\(k-1\)个隔板，而隔板与隔板之间就是某个数字\(i\)的\(c_i\)次copy。再有一个例子，当某个pattern是由两种数字1,3组成的时候，一个合理的pattern可以是
111 | | 3
照理说这里一个隔板就可以将不同的数字隔开了,为什么这里要用两个隔板呢?实际上我们放上隔板的目的一方面是为了将不同的数字隔开,更重要还是为了体现不同数字使用次数的情况,如果只放上一个一个隔板,我们就不知道数字2到底用没有,但是有了两个放在一起的隔板,我们从这个事实得出的信息就是有的数字没有被使用,你可能会说这不是明摆着的吗?都说了这个pattern是由两种数字组成的了，但是这里放两个隔板就可以延续上面讨论中的当\(N=3\)时需要\(N-1\)个隔板的结论了。
In general, 对于\(M\)个dice, 每个dice有\(N\)个sides的情况，它的representation如下:
\(\text{## || ##|}\cdots\text{## | #### }\)
其中\(\text{#}\)表示数字. 根据根据上面的讨论，这种representation有能力表示所有的合理的pattern，所以这种repsentation的种数应该是大于等于所有合理的pattern的数目的，再想一想存不存在某个repsentation它不对应一种合理的pattern, 诚然，一种representation由于\(\text{#}\)是不确定的，它必然对应着许多pattern(包括合理的pattern), 但是这许多中pattern里面，不递减的pattern就只有一种，注意，我们在说这些pattern时，它们是对应一种representation的，现在这些pattern由只有一个合理的pattern，所以不存在一种repsentation不对应一种合理的pattern, 因为总可以通过排序的操作让一个repsentation对应一个pattern。显而易见的是不同的representation肯定对应不同的合理的pattern, 同时一个repsentation也不会对应不同的合理的pattern. 综上所述不同representation的个数就是合理的pattern的个数。
那么如何求不同representation的个数呢？从上面的讨论来看似乎取决于隔板的位置，但如果从这个角度去求解的话，很难得出结果，因为隔板的位置实在是太多了，很难归纳出一定的结论。但是如果从整体来看，我们需要\(M\)个位置来放\(\text{#}\), 还需要\(N-1\)个位置来放隔板(这里再说一下为什么是\(N-1\)个隔板，因为只有这样才\(N\)种数字，就算有些隔板会放在一起，那也是表示有些数字没有用到), 所以一共有\(N+M-1\)个位置，我们只需要从中选出\(N-1\)个位置来放隔板就可以了，对应的repsentation数目是\(C_{N+M-1}^{N-1} = C_{N+M-1}^M\)。
Solution 2
和放隔板的思想类似，这里假设一个合理的pattern里面有\(n_0\)个0，\(n_1\)个1，...., \(n_{k-1}\)个\(k-1\), 其中\(\sum_{i = 0}^{k-1} n_i = M\), 所以这实际上一个\(k\)-composition of \(M\)的问题, 由于\(n_i\)还可以是0，所以更准确地说，这是一个weaker的\(k\)-composition of \(M\)的问题，所以合理的pattern的数目就转化为number of \(k\)-compostion of M,而M的weaker \(k\)-compostion的数目是\(C_{N+M-1}^{N-1} = C_{N+M-1}^M\). 具体的证明过程可见：
https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)
Q2
Let us consider just the probability distribution of one molecule’s velocities. If vx, vy, and vz of a molecule are independent and each distributed with a Gaussian distribution with \(\sigma = \sqrt{KT/m}\) then we describe the combined probability distribution as a function of three variables as the product of the three Gaussians:
\(\rho(v_x,v_y,v_z) = \frac1{(2\pi(kT/m))^{3/2}}e^{\frac{-m\textbf{v}^2}{2kT}} = \rho(v_x)\rho(v_y)\rho(v_z)\)
here \(\textbf{v}^2 =v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\) .
Show that the probability that the speed is \(v = |\textbf{v}|\) is given by a Maxwellian distribution: \(\rho_{Maxwell}(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(\frac{v^2}{\sigma^3})e^{\frac{-v^2}{2\sigma^2}}\)
首先我们来明确几个概念，\(\rho(v)\)表示分子的速率密度函数，其中\(v = |\textbf{v}|\), 它表示\(v\)真的就是速率，没有包含速度\(\textbf{v}\)的方向；而\(\rho_J(\textbf{v}) = \rho(v_x,v_y,v_z)\)表示的是速度的密度函数，这个题干已经给出了。我们要求的是\(\rho(v)\)或者说是速率在\([v,v+dv]\)范围内的概率\(\rho(v)dv\)。我们仅有的式子是在三维的速度空间\((v_x,v_y,v_z)\)中的速度密度函数\(\rho_J(\textbf{v})\)，所以我们需要建立起速率\(v\)与速度\(\textbf{v}\)的关系，更具体一点，我们需要建立起\(\rho(v)dv\)与\(\rho_J(\textbf{v})\)的关系。
现在冷静下来想一下，因为\(\rho(v)\)是不带任何方向因素的纯速率的密度，所以我们的目标就是将\(\rho_J(\textbf{v})\)给转化为不带任何方向的关于纯速率的密度，并且这样操作下来的结果应该是等于\(\rho(v)\)的，这样就建立齐了联系。将\(\rho_J(\textbf{v})\)的方向因素消去就要对一个确定的\(v\)下的所有方向进行积分来消除掉方向的影响(类似于概率论中的全概率公式的逆向思路)，而在三维速度空间中，因为速率\(v = |\textbf{v}| = v_x^2+v_y^2+v_z^2\), 所一个确定的\(v\)实际上对应的是半径为\(v\)的球，而如果在积分中使用球坐标的话，会出现\(r,\phi,\theta\)则三个参数，恰巧的是\(r\)是半径，不管在任何方向上都是那么多，这正好符合我们的要求，而\(\phi,\theta\)这两个参数就是描述方向的，所以我们就需要对所有的\(\phi,\theta\)进行积分, 即
\(\rho(v)dv =\int\int_{\Omega} \rho_J(v_x,v_y,v_z) dv_xdv_ydv_z\)
其中\(\Omega = \{(v_x,v_y,v_z)|v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = v^2\}\), 然后引入求坐标得到
\(\int_{0}^\pi \int_{0}^{2\pi} \rho_J(v,\phi,\theta) v^2\sin(\phi) d\theta d\phi dv = 4\pi v^2\rho_J(v)dv\)
这样一来，我们就建立了速率与速度之间的关系\(\rho(v)dv = 4\pi v^2\rho_J(v)dv\), 其中\(\rho_J(v)\)中的\(v = v_x^2+v_y^2+v_z^2\)，将其带入\(\rho_J(\textbf{v})\)的式子中就可以得到\(\rho(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(\frac{v^2}{\sigma^3})e^{\frac{-v^2}{2\sigma^2}}\)