无穷数列

定义

• 无穷数列：按某一法则，对所有 \(n \in {\mathbb N^*}\)，对应着一个确定的实数 \(a_n\)，这些实数按下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列成为无穷数列，简称数列
  • 项：数列中的一个数
  • 通项/一般项：\(x_n\)
• 特殊数列：
  • 单调数列：
    • 单调递增：\(a_n \leq a_{n+1}\)
    • 单调递减：\(a_n \geq a_{n+1}\)
• 极限：\(\forall\ \varepsilon>0, \exists\ N>0, \forall\ n>N,|a_n-a|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}\) 极限存在，记作 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a\) 或 \(a_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)\)
• 子列：从 \(\{a_n\}\) 中任意选出无穷多项，保持原来的顺序得到的新数列称为 \(\{a_n\}\) 的子列，记为 \(\{a_{n_k}\}\)

性质

• 敛散性：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C \Rightarrow \{a_n\}\) 收敛\((\{a_n\}\) 为收敛数列\()\)，否则 \(\{a_n\}\) 发散\((\{a_n\}\) 为发散数列\()\)
  • 去掉或改变 \(\{a_n\}\) 的有限项，不改变其敛散性
  • 极限的唯一性：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n\) 唯一
  • 收敛数列的有界性：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Rightarrow \{a_n\}\) 有界
  • 收敛数列的保序性：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=a,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n=b,a_n \leq b_n \Rightarrow a \leq b\)
  • 子列的收敛性：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow \forall\ \{a_{n_k}\},\{a_{n_k}\}\) 收敛
  • 柯西审敛原理：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon >0,\exists\ N,\forall\ m,n>N,|a_m-a_n|<\varepsilon\)
• 有界性：\(\exists\ M>0, \forall\ n,|a_n| \leq M \Rightarrow \{a_n\}\) 有界\((\{a_n\}\) 为有界数列\()\)，否则 \(\{a_n\}\) 无界\((\{a_n\}\) 为无界数列\()\)
  • 上界：\(\exists\ M,a_n \leq M \Rightarrow M\) 为 \(\{a_n\}\) 的上界
  • 下界：\(\exists\ M,a_n \geq M \Rightarrow M\) 为 \(\{a_n\}\) 的下界

无穷级数

用于研究函数(复杂函数可以看为简单函数的和)

常数项级数

• 定义：\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\)
  • 部分和：\(s_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i\)
  • 部分和数列：\(\{s_n\}\)
  • 余项(收敛数列限定)：\(r_n=s-s_n\)
• 性质：
  • 敛散性：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{n=1}^n a_n=s \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\) 收敛， \(otherwise\) 发散
    • \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=s \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=ks\)
    • \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=s,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n b_i=\sigma \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n (a_i \pm b_i)=s \pm \sigma\)
      • \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛，\(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 发散 \(\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n)\) 发散
    • 在级数中添加、删除或改变有限项不改变收敛性，但可能使收敛级数的和改变
    • 对收敛级数的项任意加括号后所产生的的新级数（每个括号内的各项之和作为新级数的和）仍收敛，且其和不变
      • 总结：原级数收敛 \(\Rightarrow\) 结合后级数收敛,原级数发散 \(\Leftrightarrow\) 结合后级数发散
      • 特殊：\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 各项符号相同 \(\Leftrightarrow \{s_n\}\) 单调 \(\Leftrightarrow\) 原级数与结合后级数敛散性相同
    • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛 \(\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n =0\)
      • 推论：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 发散
• 特殊级数：
  • 比值级数/等比级数/几何级数：\(\sum\limits_{i=1}^\infty kq^i\)
  • p-级数：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}(p>0)\)
    • 调和级数(1-级数)：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i\)
      • 性质：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i\) 发散（\(u_i=\frac1i=\sum\limits_{j=2^{i-1}+1}^{2^i} \frac 1j > 2^{i-1}*\frac1{2^i}=\frac12 \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n \neq 0 \Rightarrow\) 原级数发散）
    • 性质：
      • \(0<p \leq 1: \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}\) 发散（\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p} \geq \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i\) 发散）
      • \(p>1: \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}\) 收敛（积分审敛法）
  • 交错级数：\(\pm \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} u_i(u_n>0)\)
• 审敛法：
  • 正项级数：\(a_n \geq 0\) 的级数，记为 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\)
    • \(u_i\) 收敛 \(\Leftrightarrow \{s_n\}\) 有上界
    • 比较审敛法：
      • 基础版本：已知正项级数 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,u_n \leq kv_n(k>0)\):
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
          （\(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i \leq k\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛 \(\Rightarrow s_n^{(u)} \leq ks_n^{(v)}\) 有上界 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛）
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散 \(\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 发散
          （\(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散 \(\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n=k\lim\limits_{n \rightarrow \infty} v_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 发散）
      • 进化版本（常用）：已知正项级数 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {u_i\over v_i}=k(k \geq 0)\):
        • \(k=0:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
        • \(k=C>0:\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 敛散性相同
        • \(k=+\infty:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 发散 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散
          (证明：\(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i < (k+\varepsilon_1)\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i < (\frac1k+\varepsilon_2)\sum\limits_{i=1}^\infty u_i (\varepsilon_1,\varepsilon_2 \rightarrow 0^+)\))
      • 推论（改进版本）：当 \(v_n=\frac1{n^p}\) 时：
        • \(p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n\) 收敛
        • \(p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n\) 收敛
          （多项式优先使用）
    • 比值审敛法/达朗贝尔判别法：已知 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty }{u_{n+1} \over u_n}=k(k \geq 0)\):
      • \(0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛（取 \(r\) 满足 \(k<r<1\)，则 \(\exist\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N,u_{n+1}<ru_n \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i<\sum\limits_{i=1}^{N-1}u_i +\sum\limits_{i=N}^\infty r^{i-N}u_N\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛）
      • \(k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 可能收敛，也可能发散
      • \(k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散（取 \(r\) 满足 \(1<r<k\)，则 \(\exist\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N,u_{n+1}>ru_n \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛）
        （幂次简单的指数函数、阶乘优先使用）
    • 柯西根值审敛法：已知 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=k\)
      • \(0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛（证明类似比值判别法）
      • \(k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 可能收敛，也可能发散
      • \(k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散（证明类似比值判别法）
        （幂次为复杂多项式的指数函数优先使用）
    • 积分审敛法/积分判别法：已知单调递减非负函数 \(f(x)(x \geq 1)\) 与 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\)，若 \(u_n=f(n)\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 与 \(\int_1^{+\infty} f(x){\rm d}x\) 敛散性相同
    • 总结：
      • 基础判定：
        • 收敛：\(\{s_n\}\) 有上界
        • 发散：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0\)
      • 审敛法选择：
        • 基础：比较审敛法（等价无穷小）
        • 简单指数函数/阶乘：比值审敛法
        • 复杂指数函数：根值审敛法
        • 扩展：
          • 积分审敛法
          • 敛散性运算规律：正项级数 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛，\(u_n>0,v_n>0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_iv_i\) 收敛（比较审敛法+收敛的必要条件）
  • 任意项级数：
    • 柯西审敛原理：\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛 \(\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon>0, \exists\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N, |\sum\limits_{i=1}^\infty a_{n+i+1}| \leq \varepsilon\)（来自数列的柯西审敛原理）
    • 莱布尼茨定理：\(\sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i\) 满足：
      • \(u_n \geq u_{n+1}\)
      • \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n=0\)
        \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i\) 收敛，且 \(s \leq u_1,|r_n| \leq u_{n+1}\)
        （\(s_{2n}=\sum\limits_{i=1}^n (u_{2i-1}-u_{2i})=u_1-\sum\limits_{i=1}^{n-1} (u_{2n}-u_{2n+1})-u_{2n}\)，由第一种形式得 \(\{s_{2n}\}\) 单调递增，由第二种形式得 \(s_{2n}<u_1 \Rightarrow \{s_{2n}\}\) 有上界 \(\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_{2n}=s \leq u_1 \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_n=s \leq u_1 \Rightarrow\) 原级数收敛）
    • 估计审敛法：
      • 绝对收敛：\(\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 绝对收敛
      • 条件收敛：\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛，\(\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|\) 发散 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 条件收敛
      • \(u_n^+=\frac{|u_n|+u_n}2,u_n^-=\frac{|u_n|-u_n}2\)(均不含符号)
        • \(u_n=u_n^+-u_n^-,|u_n|=u_n^++u_n^-\)
      • 定理：
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 绝对收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-\) 均收敛（来自柯西审敛原理+三角不等式得出 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛，再由比较审敛法得另两个收敛）（ \(|\sum\limits_{i=1}^k u_{n+i}|=\sum\limits_{i=1}^k|u_{n+i}|\)）
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 条件收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-\) 均发散到 \(+\infty\)（ \(\sum\limits_{i=1}^\infty (|u_i| \pm u_i)\) 发散 ）
        • 绝对收敛级数经改变项的次序后所得到的新级数仍绝对收敛，并且级数的和不变
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty b_i\) 绝对收敛，其和分别为 \(s,\sigma\) \(\Rightarrow (\sum\limits_{i=1}^\infty a_i)(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i)\)，且其和为 \(s\sigma\)
• 实际示例：
  • 无限循环小数( \(x\) 是分数/无限循环小数 \(\Leftrightarrow x\) 对应的级数可收敛)
  • 康托尔三分点集（康托尔尘集）:
    • 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后边长 \(r=(\frac13)^n\)，边数 \(N(r)=2^n\)，根据公式 \({\rm d}=-{\ln N(r) \over \ln r}\) , \({\rm d}={\ln 2 \over \ln 3}=0.631\)。所以康托尔点集分数维是0.631。(摘自百度百科)

函数项级数

• 定义：
  • 函数项级数：\(\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x)\ (x \in I)\)
    • 收敛点：\(x_0\) 满足 \(\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x_0)\) 收敛
    • 发散点：\(x_0\) 满足 \(\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x_0)\) 发散
    • 收敛域：\(\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x)\) 所有收敛点的集合，记作 \(I_0\)
    • 和函数：\(s(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_n(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x),x \in I_0\)
    • 余项：\(r_n(x)=s(x)-s_n(x)\)
• 收敛域判定：比较审敛法简化，比值审敛法/根值审敛法分类讨论
• 特殊级数：
  • 幂级数：
    • 定义：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\)
      • 收敛半径：\(\argmax\limits_R \big( \sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \((-R,R)\) 内收敛 \(\big)\)
        • 可能情形：
          • \(R=0:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(x=0\) 处收敛
          • \(R=+\infty:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(\mathbb R\) 上收敛
          • \(0<R<+\infty:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \((-R,R)\) 上收敛，在 \({\mathbb N}- [-R,R]\) 上发散
    • 收敛域判定：
      • Abel 定理：
        • \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(x=x_0 \neq 0\) 处收敛 \(\Rightarrow |x|<|x_0|\) 时 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 绝对收敛
        • \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(x=x_0 \neq 0\) 处发散 \(\Rightarrow |x|>|x_0|\) 时 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 发散
        • 推论：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 收敛域可能性：\((-R,R),(-R,R],[-R,R),[-R,R]\)
      • 比值判别法：已知 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| =k\)
        • \(k=0:R=+\infty\)
        • \(0<k<+\infty:R=\frac1k\)
        • \(k=+\infty:R=0\)
      • 根值判别法：已知 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=k\)
        • \(k=0:R=+\infty\)
        • \(0<k<+\infty:R=\frac1k\)
        • \(k=+\infty:R=0\)
    • 运算：（要求 \(x \in I_{0a} \cap I_{0b}\)）（仅幂级数满足）
      • 加减法：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \pm \sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i=\sum\limits_{i=0}^\infty (a_i \pm b_i)x^i\)
      • 乘法：\((\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i)(\sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i)=\sum\limits_{i=0}^\infty (\sum\limits_{j=1}^\infty a_{i-j}b_j)x^i\)
      • 除法：\({\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \over \sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i}=\sum\limits_{i=0}^\infty c_ix^i, c_i=a_i-\sum\limits_{j=0}^{i-1}b_{i-j}c_j\)
    • 和函数性质：(要求 \(x \in I_0\))
      • 基础原理：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i=\sum\limits_{i=0}^\infty \lim\limits_{x \rightarrow x_0} a_ix^i\)
      • \(s'(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty ia_ix^{i-1}\)
      • \(\int_0^x s(x){\rm d}x=\sum\limits_{i=0}^\infty {a_n \over i+1}x^{i+1}\)
    • 函数的幂级数展开：（注：展开后级数的和函数 \(\not \Leftrightarrow\) 展开前的原函数(定义域不同)）
      • 定理：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内具有各阶导数，则函数 \(f(x)\) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是泰勒公式中的余项 \(R_n(x)\) 在该邻域内当 \(n \rightarrow \infty\) 时的极限为 \(0\)
      • 泰勒级数：\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(x_i) \over i!}(x-x_0)^i\ (\xi \in (\min(x,x_0),\max(x,x_0)))\)
        • 拉格朗日余项：\(R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)
      • 麦克劳林级数：\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0) \over i!}x^i\)
        • 拉格朗日余项：\(R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}x^{n+1}\)
      • 展开方式：
        • 直接法：按定理先求出在点 \(x_0\) 处函数 \(f(x)\) 的各阶导数，写出泰勒级数并求出其收敛域，然后在收敛域内讨论余项 \(R_n(x)\) 当 \(n \rightarrow \infty\) 时极限是否为零，如果为零，则函数 \(f(x)\) 能展开成泰勒级数
        • 间接法：用常用的麦克劳林级数整体代换
      • 应用：
        • 求极限
        • 近似计算（计算 \(\ln 2 \Rightarrow\) 用 \(\ln({1+x \over 1-x})\) 近似 (\(\ln(1+x)\) 不够用)）
        • 常数项级数求和：Abel法（\(\sum\limits_{i=1}^n a_iq^{i-1}\) 构造为幂级数计算）
        • 欧拉公式
  • 傅里叶级数
    • 三角级数：\(\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^\infty(a_n\cos\frac{i\pi}l x+b_n\sin\frac{i\pi}l x)\)
      • 三角函数系：\(\{f:x \rightarrow \cos\frac{i\pi}l x(n \in {\mathbb N^*}),f:x \rightarrow \sin\frac{i\pi}l x(n \in {\mathbb N^*}),f:x \rightarrow 1\}\)
        • 正交性：三角函数系任意两个不同的函数的乘积在 \([-l,l]\) 上的积分为零
          • \(\int_{-l}^l 1 \times \cos\frac{i\pi}l x {\rm d}x=0\)
          • \(\int_{-l}^l 1 \times \sin\frac{i\pi}l x {\rm d}x=0\)
          • \(\int_{-l}^l \cos\frac{i_1\pi}l x \times \cos\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0\)
          • \(\int_{-l}^l \sin\frac{i_1\pi}l x \times \cos\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0\)
          • \(\int_{-l}^l \sin\frac{i_1\pi}l x \times \sin\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0\)
            （积化和差\(\rightarrow \sin k\pi=0,\cos x-\cos(-x)=0 \rightarrow\) 结论）
    • 傅里叶级数展开：
      • \(f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^\infty (\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{i\pi}l x{\rm d}x)\cos\frac{i\pi}lx+(\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{i\pi}l x {\rm d}x)\sin\frac{i\pi}lx)\)（其中 \(f(x)\) 为周期为 \(2l\) 的周期函数）
      • 傅里叶系数：
        • \(a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi}l x{\rm d}x\)
        • \(b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi}l x {\rm d}x\)
        • 任意周期表达式：
          • \(a_n=\frac1l\int_a^{a+2l} f(x)\cos\frac{n\pi}l x{\rm d}x\)
          • \(b_n=\frac1l\int_a^{a+2l} f(x)\sin\frac{n\pi}l x {\rm d}x\)
      • 应用：周期延拓：将一小段函数经过复制粘贴得到周期函数（用于研究某一小段函数的性质）
    • 狄利克雷收敛定理：
      • 设 \(f(x)\) 是周期为 \(2l\) 的周期函数，如果它满足：
        1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
        2. 在一个周期内至多只有有限个极值点
           则 \(f(x)\) 的傅里叶级数在 \({\mathbb R}\) 上均收敛，并且
           • 在 \(f(x)\) 的连续点 \(x_0\) 处，级数收敛于 \(f(x_0)\)
           • 在 \(f(x)\) 间断点 \(x_0\) 处，级数收敛于 \(\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}2\)
    • 正弦级数：\(f(x) \sim \sum\limits_{i=0}^\infty b_n\sin\frac{i\pi}lx\)
      • 要求：\(f(x)\) 为奇函数
    • 余弦级数：\(f(x) \sim \sum\limits_{i=0}^\infty a_n\sin\frac{i\pi}lx\)
      • 要求：\(f(x)\) 为偶函数

附表

麦克劳林级数表

• \(e^x=\sum\limits_{i=0}^\infty{x^i \over i!},x \in {\mathbb R}\)
• \((1+x)^\alpha=\sum\limits_{i=0}^\infty {\alpha^{\underline i} \over i!}x^i,x \in {\mathbb (-1,1)}\)（\(\pm 1\) 处要单独分类讨论）
  • \(\frac1{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i,x \in (-1,1)\)
• \(\ln(1+x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over i+1}x^{i+1},x \in (-1,1]\)
• \(\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i+1} \over (4i+1)!}-{x^{4i+3} \over (4i+3)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over (2i+1)!}x^{2i+1},x \in {\mathbb R}\)
• \(\cos x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i} \over (4i)!}-{x^{4i+2} \over (4i+2)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty{(-1)^i \over (2i)!}x^{2i},x \in {\mathbb R}\)

导数表

• 一阶导数表：
  • \((C)'=0\)
  • \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\)
  • \((a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]\)
  • \((\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]\)
  • \((\sin x)'=\cos x\)
    • 傅里叶级数：
  • \((\cos x)'=-\sin x\)
  • \((\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}\)
  • \((\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}\)
  • \((\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}\)
  • \((\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}\)
  • \(({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}\)
  • \(({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}\)
  • \(({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}\)
  • \(({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}\)
  • \(({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
  • \(({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
  • \(({\rm sinh}\ x)'=cosh\ x\)
  • \(({\rm cosh}\ x)'=sinh\ x\)
  • \(({\rm tanh}\ x)'=\frac1{cosh^2x}=sech^2x\)
  • \(({\rm coth}\ x)'=-\frac1{sinh^2x}=-csch^2x\)
  • \(({\rm sech}\ x)'=-sech\ x\ tanh\ x=-{sinh\ x \over cosh^2x}\)
  • \(({\rm csch}\ x)'=-csch\ x\ coth\ x=-{cosh\ x \over sinh^2x}\)
  • \(({\rm asin}h\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}\)
  • \(({\rm acos}h\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}\)
  • \(({\rm atan}h\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
  • \(({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
  • \(({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\)
  • \(({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}\)
• 高阶导数表：
  • \((x^n)^{(n)}=n!\)
  • \((a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x\)
  • \((\sin x)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}2)\)
  • \((\cos x)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}2)\)
• 导数关系表：
  • \(({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0\)
  • \(({\rm atan}h\ x)'=(acoth\ x)'\)

微分表

积分表

1. 逆微分表

• \(\int C{\rm d}x=Cx+C'\)
• \(\int x^{\alpha }{\rm d}x=\frac1{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C\)
• \(\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C\)
• \(\int \frac1x {\rm d}x=ln|x|+C\)
• \(\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C\)
• \(\int \sin x {\rm d}x=-\cos x+C\)
• \(\int \sec^2x {\rm d}x=\int \cos^{-2}x {\rm d}x=\tan x+C\)
• \(\int \csc^2x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x {\rm d}x=-\cot x+C\)
• \(\int \sec x\tan x {\rm d}x=\int \sin x\cos^{-2}x {\rm d}x=\cos^{-1}x+C=\sec x+C\)
• \(\int \csc x\cot x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x \cos x {\rm d}x=-\sin^{-1}x+C=-\csc x+C\)
• \(\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm asin}\ x+C\)
• \(\int \frac1{1+x^2}{\rm d}x={\rm atan}\ x+C\)

1. 常用函数积分表

• \(\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C\)
• \(\int \ln x {\rm d}x=x(\ln x-1)\)
• \(\int x^{\alpha}=\frac1{\alpha +1}c^{\alpha +1}+C\)
• \(\int \sin x {\rm d}x=-\cos x +C\)
• \(\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C\)
• \(\int \tan x {\rm d}x=-\int \cos^{-1}x\ {\rm d}(\cos x)=-\ln |\cos x|+C=\frac12 \ln (\tan^2 x+1)+C\)
• \(\int \cot x {\rm d}x=\int \sin^{-1}x\ {\rm d}(\sin x)=\ln |\sin x|+C=-\frac12\ln (\cot^2 x+1)+C\)
• \(\int \sec x {\rm d}x=\int \frac1{\cos x} {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\)
• \(\int \csc x {\rm d}x=\int \frac1{\sin x} {\rm d}x=\int \frac1{\sin\frac x2\cos\frac x2} {\rm d}(\frac x2)\)

1. 三角函数积分表

• \(\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x +C\)
• \(\int \sin^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x-\sin x\cos x)+C\)(来自\(\sin^2 x=\frac12(1-\cos(2x))\))
• \(\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x+C\)
• \(\int \cos^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x+\sin x\cos x)+C\)(来自\(\cos^2 x=\frac12(1+\cos(2x))\))
• \(\int \tan x\ {\rm d}x=\frac12\ln(\tan^2x+1)+C\)
• \(\int \tan^2 x\ {\rm d}x=\int (\cos^{-2}x-1){\rm d}x=\tan x-x+C\)
• \(\int \cot x\ {\rm d}x=-\frac12\ln(\cot^2x+1)+C\)
• \(\int \cot^2 x\ {\rm d}x=\int (\sin^{-2} x-1){\rm d}x=\cot x-x+C\)
• \(\int \sec x {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\)
• \(\int \csc x {\rm d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C\)

1. 反三角函数积分表

• \(\int {\rm asin}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\sin t)=t\sin t-\int \sin t\ {\rm d}t=t\sin t+\cos t+C=x{\rm asin}\ x+\sqrt{1-x^2}+C\)
• \(\int {\rm acos}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\cos t)=t\cos t-\int \cos t\ {\rm d}t=t\cos t-\sin t+C=x{\rm acos}\ x-\sqrt{1-x^2}+C\)
• \(\int {\rm atan}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\tan t)=t\tan t-\int \tan t\ {\rm d}t=t\tan t-\frac12\ln(1+\tan^2t)+C=x{\rm atan}\ x-\frac12ln(1+x^2)+C\)
• \(\int acot\ x\)

1. 常用积分法

• \(\int (kx+b)e^x=(kx+b-k)e^x+C\)
• \(\int f(ax)\ {\rm d}x=\frac1a\int f(x) {\rm d}x\)