泛定方程和定解问题
泛定方程和叠加原理
简单来说泛定方程就是不带任何初始条件和边界条件的方程，它刻画广泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问题。泛定方程有线性和非线性之分，而线性泛定方程满足叠加原理，而叠加原理是求解线性范定方程的定解问题的强有力的工具。叠加原理是建立在线性算子上的，线性算子包括微分，积分等，它作用在函数上。如果一个算子\(\it{\textbf{L}}\)满足:
\(\it{\textbf{L}}(au_1+bu_2) = a\it{\textbf{L}}(u_1)+b\it{\textbf{L}}(u_2)\)
其中\(u_1,u_2\)是函数，那么\(\textbf{L}\)就是线性算子，而线性算子的叠加原理的描述如下：
如果\(u_1(x,y), u_2,(x,y),...\)都是泛定方程 \(\textbf{L}u(x,y) = 0\)的解，那么级数 \(u^* = \sum_{i=1}^n C_iu_i(x,y)\) 在收敛且每一项的二阶导数存在的情况下，\(u^*\)也是泛定方程\(\textbf{L}u(x,y) = 0\)的解。
需要注意的是叠加原理的使用要求泛定方程是线性齐次的，对于非线性方程叠加原理失效。
初始条件和边界条件
一个泛定方程如果没有相应的条件，那就求解不出对应为问题的解。对于时空的泛定方程，初始条件描述系统在\(t = 0\)时的状态，比如初始时刻的速度，位置等，需要注意的是哪一个时刻可以定义为\(t = 0\)是人为决定的，并没有绝对的标准；而边界条件则描述系统在空间上的约束，它描述系统在空间中的某些位置的状态。
定解问题
定解问题可以看做泛定方程和初始条件以及边界条件组成的方程组，泛定方程描述广泛性的规律，而初始条件和边界条件对泛定方程解的范围进行约束。
求解定解方程的方法
往后的几篇博文将分别介绍以下几种求解定解问题的方法
- 分离变量法
- 本征函数法
- 积分变换法
- 格林函数法