算函数极限

\(limf(x)\)有以下六种趋近方式

\(x\rightarrow\infty : x\rightarrow+\infty,x\rightarrow-\infty\)

\(x\rightarrow x_0:x\rightarrow x_0^+,x\rightarrow x_0^-\)

算极限的步骤

1. 化简

   1. 提出极限不为0的因式
   2. 等价无穷小替换
   3. 恒等变形
      • 基本恒等变形：提公因式、拆项、合并、分子分母同除最高次幂
      • 高级恒等变形：换元

2. 确定未定式类型

   \(\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0*\infty、\infty-\infty、\infty^0、0^0、1^\infty\)

3. 选方法

   1. 运算规则
   2. 夹逼准则
   3. 洛必达法则
   4. 泰勒公式
   5. 归结定理

例题

1. \(lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x}}{x-e^{2\sqrt{x}}+1}\)

   化简：换元

   未定式类型：\(\frac{0}{0}\)

   选方法：洛必达法则

不同未定式类型的求解思路

1. 对于\(\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0*\infty\)这三种基本类型，就是应用上面的求解思路，这三种在化简和选方法两方面都会考察。

2. 对于\(\infty-\infty\)型，有以下两种思路：一、有分母就通风，化为第一组类型；二、提取公因式或倒代换，出现分母后通风，化为第一组类型。

3. 对于\(\infty^0、0^\infty、1^\infty\)这三种类型，采用以下公式化为第一组类型：

   \[limu^v=e^{limvlnu} \]

   特别地，对于\(1^\infty\)类型，由于\(u\rightarrow1\)，因此有如下变化：

   \[limu^v=e^{limv(u-1)} \]

总结，可见第一组的三种类型是基础中的基础，应该好好训练。