拉氏变换与傅氏变换的区别

拉氏变换(拉普拉斯变换)

一个函数的傅氏变换存在的充分条件是一方面是这个函数必须是绝对可积的，另一方面是这个函数必须在\((-\infty,\infty)\)上有定义。对于那些定义在\((0,\infty)\)上的任意函数，傅氏变换不一定存在。所以为了使得对定义在\((0,\infty)\)上的任意函数也可以进行积分变换，引入了拉氏变换。考虑定义在\((0,\infty)\)上的函数\(g(x)\), 通过乘上单位阶跃函数\(u(x)\)（满足傅氏变换的区间要求）以及指数衰减函数\(e^{-\beta x}\)(保证绝对可积)，来保证最后的函数$f(x) = g(x)\cdot u(x)\cdot \(的傅氏变换存\)e^{-\beta x}\(在，这样有 \)F(w) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{{-iwx}dx=\int_{-\infty}}g(x)u(x)e^{{-(\beta+iw)x}dx=\int_{-\infty}}h(x)e^{-px}dx=H(p)\( 这里\)h(x)=g(x)u(x)$, \(p= \beta+iw\)是一个复数，可以看到当其实部为0时，上式就变成函数\(h(x)\)的傅氏变换，而对于不为0的实部，上式就是函数\(h(x)\)的拉氏变换，再根据单位阶跃函数的性质，有
\(H(p) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)e^{-px}dx=\int_{0}^{\infty}h(x)e^{-px}dx\)
拉氏逆变换的运算涉及复变函数：[拉氏逆变换]: https://blog.csdn.net/wh_STUDY/article/details/126403817 "拉氏逆变换"

拉氏变换的存在的条件是：①函数\(h(x)\)在区间\((0,\infty)\)上式分段光滑的；②函数\(h(x)\)是有界的，即\(|h(x)|\leq Me^{\alpha t}\),这里\(M\)和\(\alpha\)都是正常数，那么就存在\(h(x)\)的\(p>\alpha\)的拉氏变换\(H(p)\)

拉氏变换与傅氏变换的一些差异

1. 拉氏变换有两个位移定理，而傅氏变换只有一个。拉氏变换的对应于傅氏变换的位移定理是
   \(u(t-a)f(t-a)\leftrightarrow e^{-ap}F(p)\)
   而另一个位移定理是
   \(e^{\alpha t}f(t)\leftrightarrow F(p-\alpha)\)
   造成这种差异的原因还是在于傅氏变换的核是 \(e^{-iwx}\)

2. 拉氏变换适用于定义在\((0,\infty)\)上的函数，也就是说变换的初始区间应该是\((0,\infty)\)

3. 函数的卷积在拉氏变换下也是等于拉氏变换的乘积，不过由于拉氏变换定义区间是\((0,\infty)\)，所以卷积的两个函数在\((-\infty,0)\)上的值是通过单位阶跃函数来定义的且为0，即当\(x<0\)时，\(f(x)=0\), 那么这种情况下卷积的积分的区间可以化为是\((0,x)\)。即
   \(f_1(x)*f_2(x)=\int_0^xf_1(\xi)f_2(x-\xi)d\xi\)

4. 拉氏变换在适用于求解含初值问题的微分方程或者积分方程，这得益于它的微分定理(包含了原函数在0处的值以及导数值)；而傅氏变换在含初值问题的微分方程的求解方面则要逊色于拉氏变换。