Support Vector Machines
Perceptron and Linear Separability
假设存在一个 linear decision boundary，它可以完美地对 training dataset 进行分割。 那么，经由上述 Perceptron Algorithm 计算，它将返回哪一条 linear separator？
当 linear separator（即一个给定的超平面）的 margin \(\gamma\) 越大，则该模型的归纳与概括的性能越强。从几何的角度（二维）的角度来理解非常直观，我们需要这么一条 linear separator，即，它既能对 training dataset 进行完美的分割，同时，我们希望距它最近的数据点距它的距离最大化（如上图中间的那根直线）。否则，如果存在一个数据点距该 linear separator 的距离不是那么远，从直觉来说，围绕在该数据点附近且与它 label 相同的一个新数据点随意体现出的一个随机波动，将使得这个新数据点越过 linear separator，导致分类错误。
因此，现在的问题是，如何将 margin 纳入考量以求得这条最佳的 linear boundary？支持向量机将很好地解决这个问题。
Motivation（Why SVM？）
以下是 SVM 体现出的眼见的优势：
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SVM 返回一个 linear classifier，并且由于其算法使 margin solution 最大化，故这个 linear classifier 是一个稳定的解。
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对 SVM 稍加改变，则能提供一种解决当数据集 non-separable 情况的方法。
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SVM 同样给出了进行非线性分类的隐性方法（implicit method，即上述的 kernel transformation）。
SVM Formula
假设存在一些 margin \(\gamma \in \Gamma\) 使得 training dataset \(\mathcal{S} = \mathcal{X} \times \mathcal{Y}\) 线性可分（但注意 linear separator 不一定穿过空间的原点）。
那么，decision boundary：
\[g(\vec{x}) = \vec{w} \cdot \vec{x} - b = 0 \]
Linear classifier：
\[\begin{align*} f(\vec{x}) & = \text{sign}\big( g(\vec{x}) \big) \\ & = \text{sign} \big( \vec{w} \cdot \vec{x} - b \big) \end{align*} \]
思路
我们先分别求两个平行的超平面，使得它们对所有的 training data point 进行正确的分类，再使这两个超平面之间的距离最大化。
这也是所谓 “支持向量机（Support Vector Machine）” 名称的由来，我们最终选定的支持向量 \(\vec{w}\) 就像千斤顶一样将上述两个平行的超平面 “支撑” 开来，并且支撑开的距离也将是尽可能的最大，如下图所示。
Derivation
如上图，两个超平面的 decision boundary 可以写作：
\[\begin{cases} \vec{w} \cdot \vec{x} - b = 1 \\ \vec{w} \cdot \vec{x} - b = -1 \end{cases} \]
则两个超平面之间的距离为：
\[\frac{2}{||\vec{w}||} \]
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对于初学者的直观理解，推导可以通过二维平面上点到直线的距离进行类比，已知点 \((x_{0}, y_{0})\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的计算公式为：
\[\frac{|Ax_{0} + By_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \]
因此，设 \(\vec{w} \cdot \vec{x} - b = 1\) 上任意一点的坐标为 \(\vec{x_{0}}\)，故满足：
\[\vec{w} \cdot \vec{x_{0}} - b - 1 = 0 \]
那么两平行超平面之间的距离为该点到另一超平面 \(\vec{w} \cdot \vec{x} - b = -1\) 的距离，即：
\[\begin{align*} \frac{|\vec{w} \cdot \vec{x_{0}} - b + 1|}{\sqrt{||\vec{w}||^{2}}} & = \frac{|\big( \vec{w} \cdot \vec{x_{0}} - b - 1 \big) + 2|}{\sqrt{||\vec{w}||^{2}}} \\ & = \frac{2}{||\vec{w}||} \end{align*} \]
因此，对于 \(\forall i \in \mathbb{N}^{+}\)，当：
\[\begin{cases} \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \geq 1 \qquad \qquad \text{if } y_{i} = 1 \\ \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \leq -1 \qquad \quad \ \text{if } y_{i} = -1 \end{cases} \]
则 training data 全部被正确地分类。
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理解
参考上图，此处 \(\vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \geq 1\) 和 \(\vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \leq -1\) 的几何意义是，将对于 label 为 \(1\) 和 \(-1\) 的 data point 分别排除在超平面 \(\vec{w} \cdot \vec{x} - b = 1\) 和 \(\vec{w} \cdot \vec{x} - b = -1\) 的两边外侧，从而留下两个超平面之间的空档。
我们合并上面两式为一个式子，则 training data 全部被正确地分类等价于：
\[\forall i \in \mathbb{N}^{+}: ~ y_{i} \big( \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \big) \geq 1 \]
现在我们得到了两个超平面的距离表达式 \(\frac{2}{||\vec{w}||}\)，同时需要满足 constraints \(y_{i} \big( \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \big) \geq 1\) for \(\forall i \in \mathbb{N}^{+}\)，我们希望在约束条件下使 \(\frac{2}{||\vec{w}||}\) 最大，那么 SVM 转变为运筹问题的求解，i.e.，
\[\begin{align*} \text{maximize: } \quad & \frac{2}{||\vec{w}||} \\ \text{subject to: } \quad & y_{i} \big( \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \big) \geq 1, \quad \forall i \in \mathbb{N}^{+} \end{align*} \]
SVM Standard (Primal) Form
注意到，\(||\vec{w}|| \geq 0\) 恒成立，且若 \(||\vec{w}|| = 0\) 时，支持向量（即权重向量）\(\vec{w}\) 为零向量，使得 linear separator 无意义。故最大化 \(\frac{2}{||\vec{w}||}\) 等价于 最小化 \(\frac{1}{2} ||\vec{w}||\)。类似于线性回归中使用 Mean Square Error 而非 Mean Absolute Error 作为 loss function 的原因，\(||\vec{w}||\) 在原点处不可微，因此我们选择 minimize \(\frac{1}{2} ||\vec{w}||^{2}\)，而非原形式 \(\frac{1}{2}||\vec{w}||\)，这当然是等价的。
故 SVM Standard (Primal) Form 如下：
\[\begin{align*} \text{minimize: } \quad & \frac{1}{2} ||\vec{w}||^{2} \\ \text{subject to: } \quad & y_{i} \big( \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \big) \geq 1, \quad \forall i \in \mathbb{N}^{+} \end{align*} \]
SVM When Training Dataset is Non-separable
当 training dataset 无法被全部正确地分类时（即，不存在一个 margin \(\gamma \in \Gamma\) 使得 training dataset \(\mathcal{S} = \mathcal{X} \times \mathcal{Y}\) 线性可分），可以引入 slack variables 求解问题。
SVM Standard (Primal) Form with Slack
SVM Standard (Primal) Form with Slack 如下所示：
\[\begin{align*} & \text{minimize: } \quad \frac{1}{2} ||\vec{w}||^{2} + C \sum\limits_{i=1}^{n} \xi_{i} \\ & \text{subject to: } \quad \begin{cases} y_{i} \big( \vec{w} \cdot \vec{x_{i}} - b \big) \geq 1 - \xi_{i}, \quad \forall i \in \mathbb{N}^{+} \\ \xi_{i} \geq 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \forall i \in \mathbb{N}^{+} \\ \end{cases} \end{align*} \]
问题：如何求解最优的 \(\vec{w}, ~ b, ~ \vec{\xi}\) ？
由于涉及边界问题，我们不能在目标函数中直接对 \(\vec{w}, ~ b, ~ \vec{\xi}\) 求偏导。我们有以下两种解决办法：
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Projection Methods
从一个满足 constraints 的解 \(\vec{x_{0}}\) 开始，求能使得 objective function 略微减小的 \(\vec{x_{1}}\)。如果所求到的 \(\vec{x_{1}}\) 违反了 constraints，那么 project back to the constraints 进行迭代。这种方法偏向于利用算法求解，从原理上类似于梯度下降算法以及前文介绍的 Perceptron Algorithm。
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Penalty Methods
使用惩罚函数将 constraints 并入 objective function，对于违反 constraints 的解 \(\vec{x}\) 予以惩罚。
The Lagrange (Penalty) Method：拉格朗日（惩罚）方法
考虑增广函数：
\[L(\vec{x}, \vec{\lambda}) = f(\vec{x}) + \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \]
其中，\(L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 为拉格朗日函数，\(\lambda_{i}\) 为拉格朗日变量（或对偶变量，dual variables）。
对于此类函数，我们所需要的目标的 canonical form 为：
\[\begin{align*} \text{minimize: } \quad & f(\vec{x}) \\ \text{subject to: } \quad & g_{i}(\vec{x}), \quad \forall i \in \mathbb{N}^{+} \end{align*} \]
由于 \(g_{i}(\vec{x}) \leq 0\) for \(\forall i \in \mathbb{N}^{+}\)，则对于任意的 feasible \(\vec{x}\) 以及任意的 \(\vec{\lambda_{i}} \geq 0\)，都有：
\[L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \leq f(\vec{x}) \]
因此：
\[\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \leq f(\vec{x}) \]
注意到上式中的 \(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\)，这代表我们在 \(\vec{\lambda}\) 所在的空间 \([0, ~ \infty)^{n}\) 中搜索使拉格朗日函数最大的 \(\vec{\lambda}\)，即搜索各个对应的 \(\lambda_{i} \in [0, ~ \infty)\)。
尤其注意上式 是针对 feasible \(\vec{x}\) 成立。因为 \(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 会导致：
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当 \(\vec{x}\) infeasible 时，意味着 \(\vec{x}\) 不满足所有约束条件 \(g_{i}(\vec{x}) \leq 0\) for \(\forall i \in \mathbb{N}^{+}\)，这意味着：
\[\exists i: ~ g_{i}(\vec{x}) > 0 \]
那么：
\[\begin{align*} \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) & = \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} \Big( f(\vec{x}) + \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \Big) \\ & = f(\vec{x}) + \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \\ & = \infty \end{align*} \]
这是因为： 只要对应的 \(\lambda_{i} \rightarrow \infty\)，则 \(\lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \rightarrow \infty\)（因为 \(g_{i}(\vec{x}) > 0\)），从而 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \rightarrow \infty\)，故 \(L(\vec{x}, \vec{\lambda}) = f(\vec{x}) + \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \rightarrow \infty\)。
所以此时不满足 \(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \leq f(\vec{x})\)。
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当 \(\vec{x}\) feasible 时，即对于 \(\forall i \in \mathbb{N}^{+}\)，约束条件 \(g_{i}(\vec{x}) \leq 0\) 都成立，那么：
\[\forall i \in \mathbb{N}^{+}: ~ g_{i}(\vec{x}) \quad \implies \quad\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \leq 0 \]
因此 \(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) = 0\)，即令所有 \(\lambda_{i}\) 都为 \(0\)，故：
\[\begin{align*} \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) & = \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} \Big( f(\vec{x}) + \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \Big) \\ & = f(\vec{x}) + \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} \Big( \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} g_{i}(\vec{x}) \Big) \\ & = f(\vec{x}) \end{align*} \]
根据上述结论，给定任意 feasible \(\vec{x}\) 以及任意 \(\lambda_{i} \geq 0\)，有：
\[L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \leq f(\vec{x}) \]
且：
\[\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) = \begin{cases} f(\vec{x}) \qquad \text{if } \vec{x} \text{ feasible} \\ \infty \qquad \quad \text{if } \vec{x} \text{ infeasible} \end{cases} \]
因此，原先的 constrained optimization problem 的 optimal solution 为：
\[p^{\star} = \min\limits_{\vec{x}} \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \]
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如何理解 \(\min\limits_{\vec{x}} \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\)？
\(L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 是向量 \(\vec{x}\) 和 \(\vec{\lambda}\) 的函数，从向量角度可以抽象为一个二元函数。因此，计算逻辑是，对于每一个给定的 \(\vec{x_{0}}\)，可以得到仅关于 \(\vec{\lambda}\) 的函数 \(L(\vec{x_{0}}, \vec{\lambda})\)，然后求出使对应的 \(L(\vec{x_{0}}, \vec{\lambda})\) 最大的各 \(\vec{\lambda_{(\vec{x_{0}})}}^{*}\)（i.e.，各 \(\lambda_{i}^{*}\)）。因此内层 \(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 返回一个对于任意给定的 \(\vec{x_{0}}\)，使得 \(L(\vec{x_{0}}, \vec{\lambda})\) 最大的 \(\vec{\lambda}\) 的集合。那么，\(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 是一个仅关于 \(\vec{x}\) 的函数，再在外层求使得这个函数最小的 \(\vec{x}^{*}\)，即 \(\min\limits_{\vec{x}} \Big( \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) \Big)\)，其结果可以写为：
\[\min\limits_{\vec{x}} \max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda}) = L(\vec{x}^{*}, \vec{\lambda_{(\vec{x}^{*})}}^{*}) \]
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解释（为什么它是 optimal solution？）：
因为，对于任意的 \(\vec{x}\)（无论是否 feasible），\(\max\limits_{\lambda_{i} \geq 0} L(\vec{x}, \vec{\lambda})\) 计算出的结果可能为 \(f(\vec{x})\)（当 \(\vec{x}\) 为 feasible），也可能为 \(\infty\)（当 \(\vec{x}\) 为 infeasible）。但没关系，在最外层的 \(\min\limits_{\vec{x}}\) 可以对 \(\vec{x}\) 进行筛选，使最终选出的 \(\vec{x}^{*}\) 不可能为 infeasible，否则相当于 \(\min\limits_{\vec{x}}\) 计算出的结果为 \(\infty\)，这是只要存在 feasible region 就不可能发生的事情。