2023-3-13

练习题 8.3

5 证明 \(\partial A=\overline{A}\cap(A^{\circ})^c\) .

根据定义,有 \(\overline{A}\) 与 \((A^c)^{\circ}\) 互为补集.所以有 \(\overline{A}\cap(A^{\circ})^c=\overline{A}\setminus A^\circ=(U\setminus(A^c)^{\circ})\setminus A^\circ=\partial A\) .

7 证明:(1) \((A\cap B)^{\circ}=A^\circ\cap B^\circ\) ;(2) \(\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B\) .

(1) 任取 \(\boldsymbol{a}\in(A\cap B)^{\circ}\) ,则 \(\exists r>0\) ,使得 \(B_r(\boldsymbol{a})\subset A\and B_r(\boldsymbol{a})\subset B\), 故 \(\boldsymbol{a}\in A^\circ\cap B^\circ\) .

​ 任取 \(\boldsymbol{a}\in A^\circ\cap B^\circ\) ,则 \(\exists r_1,r_2>0\) ,使得 \(B_{r_1}(\boldsymbol{a})\subset A\and B_{r_2}(\boldsymbol{a})\subset B\), 取 \(r=\min(r_1,r_2)\) ,则有 \(B_r(\boldsymbol{a})\subset A\cap B\) ,故 \(\boldsymbol{a}\in (A\cap B)^{\circ}\).

(2) \(\boldsymbol{a}\in (A\cup B)'\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall r>0\) ,在 \(B_r(\boldsymbol{\check{a}})\) 中总是有 \(A\) 的点或 \(B\) 的点 \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol{a}\in A'\cup B'\) .

​ (对较小的 \(r\) 成立时,对较大的也成立,所以 \(B_r(\boldsymbol{\check{a}})\) 中只有 \(A\) 中的点和 \(B_r(\boldsymbol{\check{a}})\) 中只有 \(B\) 中的点这两种情况不可能随着 \(r\to0\) 的过程交替出现,故第二个等价成立)

​ \(\therefore \overline{A\cup B}=A\cup B\cup (A\cup B)'=A\cup B\cup A'\cup B'=\overline A\cup\overline B\).

8 (1) 作出闭集列 \(\{F_i\}\) ,使得 \(\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i=B_1(0)\) ;

(2) 作出开集列 \(\{G_i\}\) ,使得 \(\bigcap\limits_{i=1}^\infty G_i=\overline{B_1(0)}\) .

(1) \(F_n=B_{\frac{n-1}{n}}(0)\). (2) \(G_n=B_{\frac{n+1}{n}}(0)\).

9 设 \(I\) 为一指标集.证明:

​ (1) \(\overline{\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}\subset\bigcap\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}\) ; (2) \((\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha)^\circ\supset\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^\circ\) .

举例说明:真包含关系是可以出现的.

(1) 任取 \(\boldsymbol{a}\in\overline{\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}\) .

​ 假设 \(\boldsymbol{a}\notin \bigcap\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}\) ,这等价于对于 \(\forall \alpha\in I\) ,总有 \(\exists r_\alpha>0\) ,使得 \(B_{r_\alpha}(\boldsymbol{a})\cap A_\alpha=\varnothing\).

​ 那么取 \(r=\min\limits_\alpha r_\alpha\) ,则 \(B_r(\boldsymbol{a})\cap\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha=\varnothing\) ,这与 \(\boldsymbol{a}\in\overline{\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}\) 矛盾.假设不成立.

​ \(\therefore \overline{\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}\subset\bigcap\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}\).

(2) 任取 \(\boldsymbol{a}\in\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^\circ\) .设 \(\boldsymbol{a}\in A_\alpha^\circ\) ,则 \(\exists r>0\) ,使得 \(B_r(\boldsymbol{a})\subset A_\alpha\subset\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\) ,所以 \(\boldsymbol{a}\in(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha)^\circ\)

举例:

(1) \(A_i=(-\infty,\frac{1}{i+1})\cup(\frac{1}{i},+\infty)\) (2) \(A_i=[\frac{1}{i+1},\frac{1}{i}]\).

10 设 \(E\subset\R^n\) .求证: \(\partial E\) 是闭集.

根据练习题5,有 \(\partial E=\overline{E}\cap(E^{\circ})^c\) ,其中 \(\overline{E}\) 与 \((E^{\circ})^c\) 均为闭集,故 \(\partial E\) 是闭集.

12 设 \(P:\R^2\to\R\) ,具体地说,对 \((x,y)\in\R^2\) , \(P(x,y)=x\) , \(P\) 叫作投影算子.设 \(E\) 为 \(R^2\) 中的开集,求证: \(P(E)\) 是 \(\R\) 中的开集.举出例子: \(A\) 是 \(R^2\) 中的闭集,但 \(P(A)\) 不是 \(\R\) 中的闭集.

(1) 任取 \(\boldsymbol{a}\in E\) ,则 \(\exists r>0\) ,使得 \(B_r(\boldsymbol{a})\subset E\) ,于是有 \((P(\boldsymbol{a})-r,P(\boldsymbol{a})+r)=P(B_r(\boldsymbol{a}))\subset P(E)\) ,此时 \(P(\boldsymbol{a})\) 为 \(P(E)\) 中任意实数.

​ \(\Rightarrow\) \(P(E)\) 是 \(\R\) 中的开集.

(2) 令 \(A=\{(x,y):y=\ln x\}\) 即可.

13 \(E\) 为闭集的充分必要条件是 \(E\supset\partial E\) .

\(E\) 为闭集\(\Leftrightarrow (E^c)^\circ=E^c\Leftrightarrow E=E^\circ\cap\partial E\Leftrightarrow E\supset\partial E\).

练习题 8.4

1 设 \(P\) 是投影算子, \(A\subset\R^2\) 是紧致集.证明: \(P(A)\) 也是紧致集.

对于 \(P(A)\) 任意一个开覆盖 \(\mathscr{J_1}=\{H_\alpha\}\) ,一定存在一个 \(A\) 的开覆盖 \(\mathscr{J}_2=\{G_\alpha\}\) .

其中 \(G_\alpha=H_\alpha\times[m,M]\) , \(m,M\) 为 \(A\) 的法向坐标的上下界.

若 \(A\subset\bigcup\limits_{\alpha\in I} G_\alpha\) ( \(I\) 为有限指标集),那么自然有 \(P(A)\subset\bigcup\limits_{\alpha\in I} P(G_\alpha)=\bigcup\limits_{\alpha\in I} H_\alpha\) .

所以 \(P(A)\) 是紧致集.

2 设 \(A,B\subset\R\) .证明: \(A\times B\) 为紧致集的充分必要条件是 \(A\) 和 \(B\) 都是紧致集.

练习题1已经证明了必要性,下面证明充分性.

这等价于证明 \(A\times B\) 为有界闭集的充分必要条件是 \(A\) 和 \(B\) 都是有界闭集.

任取 \(\boldsymbol{a}=(x,y)\notin A\times B\) ,则 \(x\in A^c,y\in B^c\) ,\(\exist r_1,r_2>0,B_{r_1}(x)\cap A=\varnothing,B_{r_2}(x)\cap B=\varnothing\) ,取 \(r=\min(r_1,r_2)\) ,自然有 \(\boldsymbol{a}\in(A\times B)^c\) ,故充分性得证.

3 证明: \(A\subset \R^n\) 为紧致集的充分必要条件是,若 \(\mathscr{F}=\{A_\alpha\}\) 是 \(\R^n\) 中的一个闭集族,并且 \(A\cap(\bigcap\limits_\alpha A_\alpha)=\varnothing\) ,则有 \(A_1,A_2,\cdots,A_k\in\mathscr{F}\) ,使得 \(A\cap(\bigcap\limits_{i=1}^kA_i)=\varnothing\) .

取 \(A_\alpha\) 的补集即可发现是定义.

4 如果 \(A\subset \R^n\) 的每一个无穷子集在 \(A\) 中都有一个凝聚点,那么称 \(A\) 是Fréchet(弗雷歇,1878~1973)紧的.证明:在 \(\R^n\) 中,Fréchet紧与列紧是等价的.

若 \(A\) 的某个子集不只有孤立点,那其自然有凝聚点.

所以Fréchet紧等价于, \(A\subset \R^n\) 的每一个只有孤立点的无穷子集在 \(A\) 中都有一个凝聚点.

若 \(A\) 是列紧的,该子集定有一个子列收敛于 \(A\) 中一点,即所需的凝聚点. 故必要性得证.

若 \(A\) 是Fréchet紧的, \(A\) 中任一无穷点列必然有子列收敛于该无穷点列所构成的集合的任一凝聚点,故 \(A\) 是列紧的,充分性得证.

设 \(F_1,F_2,\cdots,F_k,\cdots\) 是 \(\R^n\) 中的非空闭集,满足 \(F_k\supset F_{k+1}(k\geq1)\) .问是否一定有 \(\bigcap\limits_{k=1}^\infty F_k\neq\varnothing\) ?若改成非空紧致集又如何?

是.根据闭集套定理这是显然的.非空紧致集在 \(\R^n\) 中等价于非空有界闭集,故也是显然的.