闲话
不知道能写多少 + 能不能写完
我先把要写的东西放在这（
模拟赛
T2
不妨先考虑 \(\exists B, \ AB = A^{\mathsf T}\) 的条件，即 \(A\) 的性质。
设 \(A\) 的列向量组为序列 \(\langle a_i \rangle\)，\(A^T\) 的为 \(\langle b_i\)。考虑 \(AB = A^{\mathsf T}\) 等价于 \((a_1, a_2, \dots, a_n) B = (b_1, b_2, \dots, b_n)\)，也就是说每个 \(b_i\) 都可以被 \(a_i\) 线性表示。由对称性，显然存在 \(C\) 满足 \(A^{\mathsf T}C = A\)，因此每个 \(a_i\) 都可以被 \(b_i\) 线性表示。
因此可以知道，\(\exists B, \ AB = A^{\mathsf T}\) 当且仅当 \(\text{Col}(A) = \text{Col}(A^{\mathsf T})\)，即 \(A\) 的行空间与列空间相同。考虑一个满足此条件的 \(A\)，并记 \(r = \text{rank}(A)\)。可以知道，\(A\) 的行空间与列空间相同等价于 \(A\) 能被唯一表示为 \(CMC^{\mathsf T}\) 的形式，其中 \(C\in \mathbb F_p^{n\times r}\) 是 \(\text{Col}(A)\) 的一组基，\(M \in \mathbb F_p^{r\times r}\text{ s.t. } \text{rank}(M) = r\)。可以感性理解，证明就考虑这组基的唯一性和表示法。
因此我们可以对每个 \(r\)，计数满足条件的 \(A = CMC^{\mathsf T}\) 和对应的 \(B\)。
先考虑前一个部分，这显然需要 \(\text{q-analog}\) 的知识。
计数 \(M\) 可以归约到同态计数，答案就是
可以递推解决。
计数 \(C\) 是经典结论，答案就是 \(\begin{bmatrix} n\\ r\end{bmatrix}_p\)。
再考虑后一个部分。我们有 \(CMC^{\mathsf T}B = CM^{\mathsf T}C^{\mathsf T}\)，稍作化简可以得到 \(C^{\mathsf T}B = M^{-1}M^{\mathsf T}C^{\mathsf T}\)。右边对一个 \(A\) 是唯一的，左边可以发现 \(M\) 能确定 \(r\) 行的值，剩下的值随意。因此对一个满足条件的 \(A\)，\(B\) 的计数（即 \(M(A)\) 是 \(p^{n(n - r)}\)。因此可以知道 \(M_{\log}(A) = n(n - r) + 1\)。
对一个 \(n\)，答案即为
做个乘法即可。总时间复杂度 \(O(k\log k)\)。
杂题
标签：le,19,闲话,mathsf,用户,传输速度,毫秒,23.3,text From： https://www.cnblogs.com/joke3579/p/chitchat230319.htmlCF1804G
在一个带宽为 \(b\) 字节每毫秒的网络中，有 \(n\) 个用户需要传输数据。第 \(i\) 个用户会在第 \(s_i\) 毫秒到第 \(t_i\) 毫秒（包含端点）使用该网络，其初始传输速度为 \(d_i\)。也就是说，这名用户在 \(s_i\) 毫秒开始使用该网络，此时其传输速度为 \(d_i\)。随后传输速度会遵循以下程序而改变。
假设在第 \(x\) 毫秒有 \(m\) 个用户使用该网络，第 \(i\) 个用户当前的传输速度为 \(t_i \ge 0\)。
- 若 \(m = 0\)，此时没有用户在使用网络。什么都不会发生。
- 如果所有 \(t_i\) 的和 \(\le b\)，每个使用网络的用户都能成功传输数据（第 \(i\) 个用户传输了 \(t_i\) 字节）。在这之后，每个用户的传输速度（即每个 \(t_i\)）都会增加 \(1\)。
- 如果所有 \(t_i\) 的和 \(> b\)，会发生网络拥塞。没有用户在该毫秒内能传输数据。在这之后，每个用户的传输速度都会除以二（即每个 \(t_i\) 被替换为 \(\left\lfloor \frac{t_i}{2}\right\rfloor\)）。
给定 \(n, b\) 和每个 \(s_i, t_i, d_i\)，请计算所有用户总共可以传输的数据量。
\(1\le n\le 2\times 10^5, \ 1\le b, d_i \le 10^9, \ 1\le s_i\le t_i\le 10^9\)。