整环上的多变量多项式不是 PID 的证明

整环上的多变量多项式不是 PID.

分析与证明：设 (R, +, ·) 是一个整环，需证若 n ≥ 2， 则 R[x₁, ^..., x_n] 不是 PID.

为方便起见，使用多重变量简记符号 x = x₁, ^..., x_n，以及多重指标简记符号 α = α₁, ^..., α_n，并记 x^α = x₁^α₁ ...x_n^α_n. 

采用反证法，假设 R[x] 是 PID，即 R[x] 中任意理想都是主理想. 令 J 是由 n 个单项式 x₁，^...，x_n 生成的理想，即

J = (x₁, ^..., x_n) = R[x]·x₁ + ^... + R[x]·x_n.

于是存在 f ∈ R[x]，使得 (f) = f·R[x] = J = (x₁, ^..., x_n).

由 x₁ ∈ J = f·R[x] 可知，f | x₁，同样有 f | x₂. 即存在 g, h ∈ R[x]，使得 fg = x₁，fh = x₂.

记 f = Σ_α a_αx^α，g = Σ_α b_αx^α. 则

fg = f = Σ_α (Σ_β+γ=α a_βb_γ)·x^α = x₁. 即 fg 中的非零项只有多重指标为 α = (1, 0, ..., 0) 的这一项.

记 u₀ = a_{(0, 0, ..., 0)}，u₁ = a_{(1, 0, ..., 0)}，v₀ = b_{(0, 0, ..., 0)}，v₁ = b_{(1, 0, ..., 0)，即有}

fg = (u₀v₁ + u₁v₀)·x₁ + u₀v₀ = x₁. 于是有

u₀v₁ + u₁v₀ = 1，u₀v₀ = 0.

由 u₀v₀ = 0 以及 u₀, v₀ ∈ R，R 是整环，可知 u₀ = 0 或 v₀ = 0.

若 u₀ = 0，则 u₁v₀ = 1. 即 u₁ 和 v₀ 都是 R 中的单位. 即 f 中的 u₁x₁ 与 g 中的 v₀ 相乘得到 x₁.

显然 deg(f) ≥ deg(u₁x₁) = 1，deg(g) ≥ deg(v₀) = 0，deg(fg) = 1.

故 g = v₀，f = u₁x₁. 于是 fh 中的每个单项式都有 x₁，这显然与 fh = x₂ 矛盾.

若 v₀ = 0，则 u₀v₁ = 1. 同理可得 g = v₁x₁，f = u₀，而 (u₀) = R[x]，于是 R[x] = J = (x₁, ^..., x_n) = R[x]·x₁ + ^... + R[x]·x_n. 而这是不可能的，因为 1 并不属于 J = R[x]·x₁ + ^... + R[x]·x_n. 

综上，n ≥ 2 时，R[x₁, ^..., x_n] 不是 PID.

补充说明：上面的证明用到了如下的一个引理：

若 (R, +, ·) 是整环，则对任意 f, g ∈ R[x] \ {0}，都有 deg(fg) = deg(f) + deg(g).