1223. 掷骰子模拟 (Hard)

问题描述

1223. 掷骰子模拟 (Hard)

有一个骰子模拟器会每次投掷的时候生成一个 1 到 6 的随机数。

不过我们在使用它时有个约束，就是使得投掷骰子时， 连续 掷出数字 i 的次数不能超过
rollMax[i]（ i 从 1 开始编号）。

现在，给你一个整数数组 rollMax 和一个整数 n，请你来计算掷 n 次骰子可得到的不同点数序列的数量。

假如两个序列中至少存在一个元素不同，就认为这两个序列是不同的。由于答案可能很大，所以请返回 模 10^9 + 7 之后的结果。

示例 1：

输入：n = 2, rollMax = [1,1,2,2,2,3]
输出：34
解释：我们掷 2 次骰子，如果没有约束的话，共有 6 * 6 = 36 种可能的组合。但是根据 rollMax
数组，数字 1 和 2 最多连续出现一次，所以不会出现序列 (1,1) 和 (2,2)。因此，最终答案是 36-2 =
34。

示例 2：

输入：n = 2, rollMax = [1,1,1,1,1,1]
输出：30

示例 3：

输入：n = 3, rollMax = [1,1,1,2,2,3]
输出：181

提示：

• 1 <= n <= 5000
• rollMax.length == 6
• 1 <= rollMax[i] <= 15

解题思路

动态规划

这一题是很明显的动态规划思路，状态定义很好想，状态转移方程也不难确定：

记dp[i][j]为掷i次骰子，最后一次结果为j + 1的可能的组合，要求的答案即dp[n][0] + ... + dp[n][5]，显然，我们只需排除最后rollMax[j] + 1次都是j的情况；

状态转移方程为：
if i <= rollMax[j]: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5} dp[i - 1][k]\)
else if i == rollMax[j] + 1: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5} dp[i - 1][k] - 1\)
else: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5}dp[i - 1][k] - \sum\limits_{k = 0, k\neq j}^{5}dp[i - rollMax[j] - 1][j]\)

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代码

动态规划

class Solution {
  public:
    int dieSimulator(int n, vector<int> &rollMax) {
        int mod = 1000000007;
        if (n == 1) return 6;
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(6, 0));
        for (int i = 0; i < 6; i++) {
            dp[0][i] = 1;
            dp[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < 6; j++) {
                if (i <= rollMax[j]) {
                    dp[i][j] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5]) % mod;
                } else if (i == rollMax[j] + 1) {
                    int tmp_sum = 0;
                    for (int k = 0; k < 6; k++) {
                        tmp_sum = (tmp_sum + dp[i - 1][k]) % mod;
                    }
                    dp[i][j] = (tmp_sum - 1) % mod;
                } else {
                    int tmp_sum = 0;
                    int tmp_minus = 0;
                    for (int k = 0; k < 6; k++) {
                        tmp_sum = (tmp_sum + dp[i - 1][k]) % mod;
                        if (k == j) {
                            continue;
                        }
                        tmp_minus = (tmp_minus + dp[i - rollMax[j] - 1][k]) % mod;
                    }
                    dp[i][j] = (tmp_sum - tmp_minus + mod) % mod;
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int j = 0; j < 6; j++) {
            res = (res + dp[n][j]) % mod;
        }
        return res;
    }
};