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LA@二次型规范形@正定

时间：2023-02-26 14:32:35浏览次数：35

标签：负定二次惯性可逆 LA 矩阵正定

文章目录

规范形

规范形的矩阵
实对称阵和相互合同的充要条件
惯性定理

惯性指数
惯性指数和特征值个数

二次型规范形的确定方法

正定二次型

可逆线性变换不改变二次型的正定性
二次型是正定的充要条件
正定二次型的等价命题
正定矩阵的性质

k阶顺序主子式

正定@半正定@负定@半负定

不定二次型
负定二次型的等价命题

规范形

如果 $LA@二次型规范形@正定_线性变换$ 可以通过线性变换 $LA@二次型规范形@正定_特征值_02$ 化为

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_03$
称N为 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_04$ 的规范形

规范形的矩阵

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_05$

任意一个秩为r实对称阵A和对角阵B合同

实对称阵和相互合同的充要条件

实对称阵 $LA@二次型规范形@正定_特征值_06$ 有相同的秩 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_07$ 和正惯性指数p是 $LA@二次型规范形@正定_特征值_06$ 相互合同的充要条件

惯性定理

同一个二次型的标准形不唯一,但是它们具有相同的正负平方项个数
任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为规范/形,规范形具有唯一性(p,r由二次型f唯一确定)

惯性指数

二次型的规范形N中,
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_09$ 称为正惯性指数
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_10$ 称为负惯性指数
$LA@二次型规范形@正定_线性代数_11$ 称为符号差
正负惯性指数统称惯性指数

惯性指数和特征值个数

正(负)惯性指数是二次型矩阵A的正(负)特征值个数

二次型规范形的确定方法

计算二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性变换$ 的标准形

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_13$

做可逆线性变换

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_14$

正定二次型

设实二次形 $LA@二次型规范形@正定_线性变换$ ,如果对于任意的 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_16$ 满足

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_17$
则称该二次型为正定二次型
称 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_18$ 是正定矩阵

可逆线性变换不改变二次型的正定性

证明:

对于可逆矩阵C,和向量 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_19$ ,有 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_20$

因为 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_21$
根据Cramer法则,齐次线性方程 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_22$ 只有零解
而 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_23$ ,因此 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_24$

设线性变换 $LA@二次型规范形@正定_特征值_25$ 将 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 标准化为 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_27$

$LA@二次型规范形@正定_特征值_28$
其中, $LA@二次型规范形@正定_线性代数_29$ 为n维列向量, $LA@二次型规范形@正定_线性代数_30$

为例证明 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_31$ 是正定的,就是要证明 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_32$

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_33$
记 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_34$ ,前面已经讨论过 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_24$ ,从而列向量 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_36$
$LA@二次型规范形@正定_线性代数_37$ (由 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_38$ 的正定性)
从而 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_39$ ,二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_40$ 依然是正定的

二次型是正定的充要条件

n元实二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_41$ 是正定的当且仅当 $LA@二次型规范形@正定_特征值_42$ 的正惯性指数为n(规范形系数全为1)
另一种等价描述:二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_43$ 是正定的当且仅当它的标准形 $LA@二次型规范形@正定_特征值_44$ 所有系数 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_45$
证明:

设可逆线性变换 $LA@二次型规范形@正定_特征值_25$ 将二次型 $LA@二次型规范形@正定_特征值_47$ 化为标准形 $LA@二次型规范形@正定_特征值_48$

设标准形系数 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_49$ ,则 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_50$
由C可逆,则 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_51$ 也可逆,得对于任意 $LA@二次型规范形@正定_特征值_52$ , $LA@二次型规范形@正定_线性变换_53$
设 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_54$ ,则 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_55$
因此 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_56$ , $LA@二次型规范形@正定_线性代数_57$ 是正定的,那么 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_58$ 和 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_57$ 有相同的正定性,因而也是正定的

设正定矩阵的标准形 $LA@二次型规范形@正定_特征值_48$ 的某个系数 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_61$

如果能够证明这种情况下 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_38$ 是不正定的,则相等于证明了正定矩阵的标准形的所有系数 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_49$
证明 $LA@二次型规范形@正定_特征值_64$ 导致 $LA@二次型规范形@正定_特征值_65$ 是非正定的,可以举一个反例列向量 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_66$ 使得 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_67$ 不满足正定要求 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_68$
取 $LA@二次型规范形@正定_特征值_69$

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_70$
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_71$
$LA@二次型规范形@正定_线性代数_72$
也可把 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_73$ 描述为 $LA@二次型规范形@正定_特征值_74$

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_75$ ,由于 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_76$ ,从而 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_77$ ,这使得 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_57$ 不满足恒为正(大于0)的条件,从而 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_57$ 是非正定的, $LA@二次型规范形@正定_线性代数_58$ 也就非正定
因此, $LA@二次型规范形@正定_线性变换_76$ 导致 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_38$ 是非正定的换句话说(逆否命题), $LA@二次型规范形@正定_线性代数_38$ 是正定必有 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_49$

正定二次型的等价命题

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_85$ 是正定二次型 $LA@二次型规范形@正定_特征值_86$ A是正定矩阵

这条命题作为基本的真命题,用于推到其他等价命题

矩阵A的特征值均大于0

在讨论标准化的时候,提到定理 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_87$ 一定可以被一个正交矩阵Q正交线性变换为形如 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_88$ 的标准形

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_89$

其中 $LA@二次型规范形@正定_特征值_90$ 是对称阵 $LA@二次型规范形@正定_特征值_91$ 的n个特征值

又由于对于正定二次型 $LA@二次型规范形@正定_特征值_92$ ,它的标准形 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_93$ 的所有系数一定为正数,从而 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_94$

A和同阶单位阵合同

正定二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 的(规范形N)正惯性指数p=n,所以 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 的矩阵A与n阶单位阵合同

存在可逆矩阵P,使得 $LA@二次型规范形@正定_特征值_97$

由于 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_98$ ,即存在可逆矩阵Q使得 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_99$
从而 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_100$
取 $LA@二次型规范形@正定_特征值_101$ ,即 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_102$

正定矩阵的性质

设 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_103$ 为n阶正定矩阵

$LA@二次型规范形@正定_线性代数_104$
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_105$

证明:

设正定矩阵对应的正定二次型为 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_106$ ,

当 $LA@二次型规范形@正定_特征值_52$ 时恒满足 $LA@二次型规范形@正定_特征值_108$
如果能够找到合适的非零向量 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_109$ 使得 $LA@二次型规范形@正定_特征值_110$ ,那么自然得证明了 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_111$
对于 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_112$ (只有第k个元素是非零元素,而且等于1)

$LA@二次型规范形@正定_特征值_113$

当 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_114$ 时满足

$LA@二次型规范形@正定_特征值_115$
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_116$
从而 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_117$ ,又 $LA@二次型规范形@正定_特征值_118$ ,
所以 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_119$ , $LA@二次型规范形@正定_特征值_120$

应为正定矩阵A的特征值均大于0,且 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_121$ ,所以 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_105$

k阶顺序主子式

设 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_123$ 为n阶矩阵

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_124$
$LA@二次型规范形@正定_特征值_125$ 称为A的k阶主子式 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_126$

是k阶子式中的一种特殊情况,它们的结果都是一个数

(从A左上角划出(包含第一个元素的)k阶子行列式)

一个n阶方阵A有n个不同的主子式
A的n阶主子式为A本身

二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_85$ 正定当且仅当A的全部顺序主子式均大于0

正定@半正定@负定@半负定

设实二次型 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_128$ 对于任意 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_129$ ,:

若恒有 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_130$ ,则 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 是正定二次型,A为正定矩阵
若恒有 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_132$ ,则 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 是半正定二次型,A为半正定矩阵
若恒有 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_134$ ,则称 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 为负定二次型,A为负定矩阵
若恒有 $LA@二次型规范形@正定_线性变换_136$ ,则称 $LA@二次型规范形@正定_线性代数_26$ 是半负定二次型,A称为半负定矩阵

不定二次型

若二次型 $LA@二次型规范形@正定_特征值_42$ 不是有定的,称为不定二次型

负定二次型的等价命题

$LA@二次型规范形@正定_线性变换_85$ 是负定二次型 $LA@二次型规范形@正定_特征值_86$ A是负定矩阵
矩阵A的特征值均<0
A的负惯性指数q=n
$LA@二次型规范形@正定_线性变换_141$

标签：负定,二次,惯性,可逆,LA,矩阵,正定
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