线段树

权值线段树

线段树维护的区间是一个值域范围，而不是一段下标的区间。

P1637 三元上升子序列

我们可以考虑中间的数字 \(x\)，统计前面比 \(x\) 小的数字个数 \(a_1\), 统计后面比 \(x\) 大的数字个数 \(a_2\)，最后的结果为 \(a_1\times a _ 2\)。

使用权值线段树，边处理边询问，从前往后枚举 \(a[i]\)，先统计 \([1,a[i] - 1]\) 的位置上的数字总和，然后再在位置 \(a[i]\) 上 \(+1\)，这样统计出来的都是之前比 \(a[i]\) 小的数字。

统计比 \(a[i]\) 大的数字同理，只要反过来统计，即从 \(a[n]\) 枚举到 \(a[1]\)， 然后询问 \([a[i] + 1, n]\) 的数字总和即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
using i64 = long long;

const int N = 100010;

struct SegmentTree {
    int l, r;
    int val;
}tr[N << 2];

int a[N], n;

void pushup(int u) {
    tr[u].val = tr[u << 1].val + tr[u << 1 | 1].val;
}

void build(int u, int l, int r) {
    tr[u].l = l, tr[u].r = r;

    if (l == r) {
        tr[u].val = 0;
        return;
    }

    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid);
    build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int x, int v) {
    if (tr[u].l == x && x == tr[u].r) {
        tr[u].val += v;
        return;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
    else modify(u << 1 | 1, x, v);
    pushup(u);
}

int query(int u, int l, int r) {
    if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
        return tr[u].val;
    }
    
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1, sum = 0;
    if (l <= mid) sum += query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
    return sum;
}

int small[N], big[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    build(1, 1, N - 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        small[i] = query(1, 1, a[i] - 1);
        modify(1, a[i], 1);
    }

    build (1, 1, N - 1);

    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        big[i] = query(1, a[i] + 1, N - 1);
        modify(1, a[i], 1);
        // cout << big[i] << '\n';
    }

    i64 ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += 1ll * small[i] * big[i];
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

P1908 逆序对

与上一题类似，但是需要离散化。