引入
PID控制在工业生产的控制领域虽然年头已久，但是依然占有主要的地位，靠的就是它简洁优美的控制逻辑。虽然网上已经有很多相关的科普说明了，但是有了点新的想法，就在这里和大家分享一下。
首先需要知道一点，PID控制是针对二阶系统提出的一种通用控制方法，其时域表达式如下：
\[u(t)=K_Pe(t)+K_I\int^{t_0}_0e(\tau)d\tau+K_D\frac{de(t)}{dt} \]\(u(t)\) 为系统状态，\(e(t)\) 为误差状态（设定值-现有值）
虽然在频域里分析有诸多的方便，但也少了直观的特点，所以今天的讨论也仅限于时域的一些直观印象。
三个系数
比例系数
首先来思考一下，为什么不能只用比例系数来控制系统状态？可以看到的是，系统从初态出发，逐渐上升，在逐渐逼近设定值的时候误差也在减小，从而调节作用也在减小。
正如庄子所言“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这种情况和只用比例系数来调节是一样的，在系统逼近设定值后，比例调节越来越慢，以至于永远到不了；
而更坏的情况是，当系统存在外部阻力的时候，到达某种误差时，比例调节的作用和外部阻力相当，那它还会有一个稳定的系统误差，这都不是我们想看到的。
积分系数
为了解决上面的问题，我们就需要引入另一个积分系数来救场，和比例系数比较起来，积分系数不会满足于当下，它每时每刻都在算旧账，如果旧账没还清就会逼着你继续变化去还清；
这种特性导致它在还未到达设定值的时候的作用越来越大，即使有外界阻力产生的系统偏差，它的作用也会随着时间越来越大以至于无穷，再强的阻力也挡不了它，所以只要有它存在就很有可能会有超调，但同时理论上不会有系统偏差；
微分系数
有了PI，其实需求差不多就满足了，但是还存在的问题是，积分系数太莽了，经常一不小心就超过或者跌破了系统设定值，所以还需要引入一个微分系数来稳一稳心态；
如果观察一下微分系数带来的作用，不难发现，在前期PI一起齐心协力逼近系统设定值的时候，误差值在不断降低，微分系数在干嘛呢？微分系数在拖后腿，它在拼命降低这种上升的作用，所以如果把微分系数设定过大就会导致系统响应变慢；
但是当系统产生了超调，微分系数的拖后腿就很重要了，它可以有效减小超调量，让系统更快的回落设定值；
不过当系统状态迷途知返回落设定值的时候，微分系数又开始阻碍你回落设定值了，但是同样的，当系统跌落设定值时，它又可以保护你不要下降过多；
几点讨论
三个系数的一点联想
综上我们可以看到这三种系数各自的特点，并给它们一些拟人化的思考：
比例系数是一个兢兢业业的人，他理性的根据当下的情况做出一定比例的调整，不多也不少，但是由于太过谨慎，在临近目标时又迟迟不敢达到目标；
积分系数是一个念旧且算旧账的人，过去的所有旧账它都要给你算清楚，即使你已经超过了目标，也要矫枉过正，继续发挥作用直到旧账一笔勾销，这种特性的人也往往极不稳定，总是产生波动；
微分系数则是一个彻彻底底的保守派，他始终和其他两个系数的作用唱反调，如果你们想上升，那我就下降；你们想下降，那我就上升，就是系统内部的一些阻力，让整个系统更加稳定；
三个系数和系统状态的对应
按照以上的分析我们也可以看到这三个系数中，只有比例系数是一直在做好事的，但是缺少临门一脚的魄力，积分系数在我逼近目标时是得力助手，但又往往难以控制导致波动，微分系数的保守派属性，让它在奋进的时候拖后腿，又在过头的时候拉回来一把，好坏参半；
有很多科普教程会说这三者和现实的对应，P只对应现实，I对应过去的状态，D对应未来可能发生的事情，但是D可能就不太恰当，因为它的实际作用就只是阻碍当前状态，并不存在一种预估的作用，有时候还会产生负面效果。
刚开始学PID的时候，老师只会给你推公式然后说三个参数过大会怎样，过小会怎样，这样的思考很不直观，死记的话也极容易出错，而如果直观的思考一下就会发现，三个参数有各自的作用和特点，互相配合，优势弥补，从而能够共同达到一种调节快速且稳定的优美控制方法。
只用比例系数调节是否超调
这个问题就稍微有些绕，在之前的分析中，如果严格按照公式里的情况进行对应的话，是不可能产生超调的，如果求解一下微分方程也能得到一样的结论。但是实际情况，左侧的\(u(t)\) 有一个时间上的偏移，实际按照\(u(t+\Delta t)\) 去逐步递进的。如果P足够大，步长又比较大，其实也会产生一定的超调现象，但这是实际系统的延迟带来的。
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