容斥原理
\(C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2 ^ {n}\)，从n个数中选任意多个数的方案数
证明，\(\left | S_{1}\cup S_{2} \dots \cup S_{n} \right | = \sum_{i} \left | S_{i} \right | + \sum_{i,j}\left | S_{i} \cap S_{j} \right |+ \sum_{i,j,k} \left | S_{i}\cap S_{j} \cap S_{k} \right |\)
假设\(x\in S_{1} \cup S_{2} \dots \cup S_{n}\)，存在于\(k\)个集合之中，\(1\le k\le n\)，那么\(x\)被计算的次数为，\(C_{k}^{1} - C_{k}^{2}+C_{k}^{3}-C_{k}^{4}+ \dots + (-1)^{k-1}C_{k}^{k}=1\)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int p[N];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
int res = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) cin >> p[i];
// 枚举状态，二进制状态压缩
for (int i = 1; i < 1 << m; i++) {
int t = 1, cnt = 0;
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (i >> j & 1) {
cnt++;
if ((LL)t * p[j] > n) t = -1, break;
t *= p[j];
}
}
if (t != -1) {
if (cnt % 2) res += n / t;
else res -= n / t;
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}
简单博弈论
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足：
由两名玩家交替行动；
- 在游戏进程的任意时刻；
- 可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
- 不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。
Nim游戏
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Mex运算
设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S
SG函数
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。
有向图游戏的和 —— 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。