极限理论
数列极限的定义
数列：无穷多个数排成一列：a1,a2,a3....;
记成{an};
an叫做数列的一般项或通项；
n叫做项的下标或项数；
N->R;
{an}是一个函数；
几种数列
(1) ：1，2，3......n....
(2) : 1/1,1/2,1/3....1/n....（趋近于0）
(3) : 1,-1....(-1)^(n+1）....
(4) : (1+1/1)^1,(1+1/2)^2,(1+1/3)^3.....(1+1/n)^n.....（趋近于e)
其中2，4数列有收敛现象，也叫有极限；
极限中ε的意义：
ε在极限讨论中代表的是一个大于0的很小的数，可以任意小，只要不等于零
由于这个任意小很模糊，同时又要求ε是一个极小的数，做题中通常会给ε上界做出定义
比如0<ε<1/2;
数列极限的定义：
设数列{an}，a为定数；
若对任意正数ε,总存在正整数N，当n>N时有：
|an-a|<ε;
则称数列{an}收敛于a，定数a称之为{an}的极限
并记作：
也可以记作：
an ——>a(n->无穷）；
若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}发散；
|an-a| <ε
-ε<an-a < ε
a-ε < an <a+ε
an∈(a-ε,a+ε);
领（二声）域
以a为中心，以ε为半径的领域
（a,a+ε)是a的右侧ε领域；
（a+ε,a)是a的左侧ε领域；
（a+ε,a) ∪ （a,a+ε) =（a+ε,a+ε) \{a} = {x|0 <|x-a|<ε 称之为a的去心领域；
使用领域定义极限：
对于任意ε > 0,存在n0∈N（自然数），当n >n0时，有|an-a| <= ε;
对于任意ε > 0,存在n0∈N（自然数），当n >=n0时，有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,存在实数M > 0，当n>m时，有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,对固定常数M，存在n0∈N，当n>n0时，有|an-a| < M*ε;
数列极限例题
例一
有a>0,求证数列：lim （1/（n^a)） = 0
证
任给ε>0,欲得|1/（n^a)| -0= 1/（n^a) < ε; 只需n^a > 1/ε,即n>(1/ε)^(1/a);
因此取自然数n0>(1/ε)^(1/a)或n0=(1/ε)^(1/a);
则有n>n0时，有|1/（n^a)| < ε;
由定义可得 lim （ 1/（n^a)）=0 成立；
例二
当|q|<1时，求证lim（n*q^n) = 0
当q=0时显然成立‘
当-1<q<0时：
当0<q<1时
令|q|=1/(1+a),a>0
则n*|q|^n = n*（1/(1+a)）^n=n/(1+a)^n<2/((n-1)*a^2)
任给ε>0,欲得n*|q|^n-0<ε;
只需要2/((n-1)*a^2)<ε
即n>2/(ε*a^2)+1;
因此n0=|2/(ε*a^2)+1|；
即n>n0时原式成立；
收敛（极限）数列的性质
1：如果数列有极限，则只有一个极限
证：如果有数列{an）有两个极限a，b，且a!=b;
则存在a的ε领域，与b的ε领域
使得（a-ε,a+ε)∩(b-ε,b+ε)=空集；
由于lim（an）=a，对于ε，存在n1，当n>n1时有an∈（a-ε,a+ε)
同样lim（an）=b时，对于此ε，有n2，当n>n2时an∈(b-ε,b+ε)
当n>max(n1,n2)时，an∈a-ε,a+ε)∩(b-ε,b+ε)空集，这与有极限矛盾，所以只有一个极限
2:收敛数列必有界
对于数列{an} ，存在M，m
使得
an<=M（n=1,2,3,...)成{an}有上界
an=>m（n=1,2,3,...)成{an}有下界
当m<=an<=M,称{an}有界；
无界数列必发散，
有界不一定收敛。
3：
假如有数列{an}收敛于a,{bn}收敛于b，
如果存在n0∈N，当n>n0时，有an>=bn
则a>=b;
反证：
假如an>=bn,且a<b
则有几何直观
若a<b，取ε=（b-a）/2
则一定存在nε>n0,当n>n0时有|an-a|<=(（b-a）/2),|bn-b|<=(（b-a）/2);
所以有-(（b-a）/2)<an-a<(（b-a）/2),-(（b-a）/2)<bn-b<(（b-a）/2);
an<(b+a)/2,b>(b+a)/2;
所以an<bn与已知条件矛盾，所以b不可能大于a;
4：保号性
lim（an）=a，an>0,则a>0;
5:
若数列{an}，lim(an)=a>0
则存在n0∈N，当n>n0时，有an>0
6：列紧性
任意有界数列，一定有在收敛的子列
证：设{an}有界，即an∈[c,d]
=>在[c,(c+d)/2],[(c+d)/2,d]
中至少有一个包含{an}中无穷多项
记作[c1,d1]，选an1∈[c1,d1]
一直重复上述步骤；
收敛数列的四则运算
性质：设{an}，{bn},lim(an)=a,lim(bn)=b
则
lim（an+bn）=a+b=lim(an)+lim(bn);
lim（an-bn）=a-b=lim(an)-lim(bn);
lim（an*bn）=a*b=lim(an)*lim(bn);
bn且b !=0时，lim（an / bn）=a / b=lim(an) / lim(bn);
lim（c1*an+c2*bn)=c1lim(an)+c2lim(bn) (c1,c2为常数）；
无穷大量
无穷大量的概念
定义：设有数列，{an}若对于任意的正数M>0,总 存在正整数N>0,使得当n>N时，|an|>M成立，则称 n是无穷大量，记作lim {an，n, ∞) =∞
标签：数列,lim,理论,极限,n0,收敛,bn From： https://www.cnblogs.com/zaiyewujiang/p/16858976.html