一、引入
排列组合是组合数学的基础，主要是研究各种排列和组合的情况数。
1. 加法原理
在同一步中，有不同类别的选择，可以将各类选择方案数累加获得总方案数。
举例说明，比如从 \(A\) 城到达 \(B\) 城，坐火车有 \(3\) 种方案，坐飞机有 \(2\) 种方案。则总共有 \(2 + 3 = 5\) 种方案。
2. 乘法原理
在不同步骤中，有不同种方案，可以将各步方案数累乘获得总方案数。
举例说明，比如从 \(A\) 城到达 \(B\) 城，中间需要从 \(C\) 城转乘。到达 \(C\) 城有 \(3\) 种方案，到达 \(B\) 城有 \(2\) 种方案。则总共有 \(2 \times 3 = 6\) 种方案。
二、公式
排列数：从 \(n\) 个不同元素中任意选出 \(m(m \leq n)\) 个，按照一定顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数。
\[A^m_n = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]组合数：从 \(n\) 个不同元素中任意选出 \(m(m \leq n)\) 个的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。
\[C^m_n = \frac{A^n_m}{A^m_m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]三、经典题型
1. 特殊元素和位置优先
例 \(1\)：
由 \(0,1,2,3,4,5\) 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？
解答
对于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素把这两个位置占掉。
先排末位共有 \(C^1_3\)，然后排首位共有 \(C_4^1\)，最后排其它位置共有 \(A_4^3\)
由计数原理可以算出 \(ans=C^1_3 C_4^1 A_4^3\)
练习 \(1\)：
用 \(0\) 到 \(9\) 这 \(10\) 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
2. 相邻元素捆绑
有些元素不能分开，于是可以将这几个元素看作一个整体元素来进行排列组合。
例 \(2\)：
\(7\) 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？
解答：
甲乙相邻，丙丁相邻，看作两个整体元素。
甲乙内部 \(A^2_2\) 种方案，丙丁内部 \(A^2_2\) 种方案，这两个整体元素和其他剩余 \(5\) 个元素进行排列，有 \(A^5_5\) 种方案。
则答案为 \(ans = A^2_2A^2_2A^5_5\)
练习 \(2\)：
记者要为 \(5\) 名志愿者和他们帮助的 \(2\) 位老人拍照，要求排成一排，\(2\) 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量？
3. 不相邻元素插空
有些元素要求不能放在一起，我们可以将其他元素先排列好，再将这些不能放在一起的元素插在已经排好元素的空位中。
例 \(3\)：
一个晚会的节目有 \(4\) 个舞蹈，\(2\) 个相声，\(3\) 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解答：
第一步，先把 \(2\) 个相声和 \(3\) 个独唱排列好，共 \(A^5_5\) 种方案；
第二步，将这四个舞蹈插入 \(6\) 个空之中，共 \(A^4_6\) 种方案。
则答案为 \(ans = A^5_5A^4_6\)
练习 \(3\)：
道路边上有编号 \(1\) 到 \(10\) 的 \(10\) 盏路灯，现要关掉其中的 \(3\) 盏，但不能关掉相邻的 \(2\) 盏或 \(3\) 盏，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
4. 定序问题倍缩空位插入
倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
例 \(4\)：
\(7\) 人排队，其中甲乙丙 \(3\) 人顺序一定，共有多少不同的排法？
解答：
先把这几个需要固定顺序的元素和其他元素一同进行排列，即 \(A^7_7\) 种；
然后再除以这几个元素的全排列数，即 \(A^3_3\) 种；
答案即为
\[ans = \frac{A^7_7}{A^3_3} \]练习 \(4\)：
信号兵把红旗和白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 \(3\) 面红旗，\(2\) 面白旗，把这 \(5\) 面旗都挂上去，总共能表示多少种信号？
练习题
主要是插空法 + 高精度
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