gcd 相关
首先要熟悉几个转化:
\(\gcd (a,b) = \gcd(a, a + qb)\)
\(\gcd (a, b) = \gcd(a, a - b)\)
\(\gcd (a, b) = \gcd(a, a \% b)\)
这几个转化很常见。
还有:
\(\operatorname{lcm}(a, \gcd(b, c)) = \gcd(\operatorname{lcm}(a, b), \operatorname{lcm}(a, c))\)
\(\gcd(a, \operatorname{lcm}(b, c)) = \operatorname{lcm}(\gcd(a, b), \gcd(a, c))\)
CF1717E
求 \(\sum \limits_{a+b+c=n} \operatorname{lcm}(c, \gcd(a, b))\)。
暴力枚举 \(c\),然后 \(a+b=n-c\)。利用第一个转化发现原式 \(= \sum \limits _{a \in [1, n - c - 1]} \operatorname{lcm}(c, \gcd(a, n - c))\)。
这时候要用到一个经典的例题(本题重中之重):计算 \(a \in [1, n-c-1], \gcd(a, n-c)\) 为各个数的 \(a\) 的方案数。
首先,\(\gcd(a, n-c)\) 肯定是 \(n-c\) 的因子。那么我们枚举 \(\gcd\),假设为 \(g\),那么如果 \(\gcd(a, n-c) = g\),\(a\) 要满足:\(a | g, (a / g) ⊥ ((n-c) / g)\)。
刚好,我们把 \(1 \sim n-c-1\) 中所有整除 \(g\) 的数除了 \(g\) 之后的取值映射到 \(1 \sim (n-c) / g\) 中,并且需要与 \((n-c) / g\) 互质。方案数显然是 \(\phi((n-c)/g)\)。
需要注意,当 \(g = n-c\) 时算出来的 \(\phi\) 为 \(1\),但这个 \(1\) 其实是 \(a = n - c\) 贡献的,不符合要求,不能计算。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define f(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define cl(i, n) i.clear(), i.resize(n);
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;
int qpow(int x, int k)
{
int ans = 1;
while (k)
{
if (k & 1)
ans = ans * x % mod;
x = x * x % mod;
k >>= 1;
}
return ans;
}
int lcm(int x, int y)
{
return x * y / __gcd(x, y);
}
int n;
int phi[100010];
int calc(int x)
{
int ans = x;
for (int i = 2; i * i <= x; i++)
{
if (x % i == 0)
{
ans = ans * (i - 1) / i;
while (x % i == 0)
{
x /= i;
}
}
}
if (x > 1)
ans = ans * (x - 1) / x;
return ans;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
time_t start = clock();
// think twice,code once.
// think once,debug forever.
int ans = 0;
cin >> n;
f(i, 1, n) phi[i] = calc(i);
f(c, 1, n - 2)
{
int k = n - c;
for (int i = 1; i * i <= k; i++)
{
if (k % i == 0)
{
ans += phi[k / i] * lcm(c, i);
ans %= mod;
if (i * i != k && i != 1)
{
ans += phi[i] * lcm(c, k / i);
ans %= mod;
}
}
}
}
cout << ans << endl;
time_t finish = clock();
// cout << "time used:" << (finish-start) * 1.0 / CLOCKS_PER_SEC <<"s"<< endl;
return 0;
}
标签:phi,gcd,int,ans,相关,整除,lcm,operatorname
From: https://www.cnblogs.com/Zeardoe/p/16652355.html